- ¿Qué es un Sistema de Numeración?
Un Sistema de numeración es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos. Estas reglas permiten establecer operaciones y relaciones entre dichos símbolos. A lo largo de la historia, el hombre, ha empleado Sistemas de Numeración; por ejemplo el Romano, el Egipcio, el Babilonio, etc.
Un Sistema de Numeración puede representarse como N=S+R donde:
· N es el sistema de numeración considerado.
· S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son 0,1...9; en el binario son 0,1; en el octal son 0,1...7; en el hexadecimal son 0,1...9, A,B,C,D,E,F.
· R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles no-válidos en el sistema.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se puede utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeración utilizado se añade como subíndice al número)
Ejemplos:
ü El número 125(10) es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10) no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
ü El número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8) no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
Historia
Aunque se carece de información fidedigna acerca de la forma como el hombre primitivo empezó a valerse de un sistema numérico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas poseía; como también para conocer el número de armas que tenía, o para cuantificar la extensión de los terrenos sembrados o conquistados.
También cuando éste se dedicó a la agricultura, tuvo que idear un sistema para medir le tiempo en las épocas de siembra y cosecha., finalmente en su etapa de comerciante, necesito crear un sistema para fijar el peso, volumen y el valor de sus productos para intercambiarlos con los pueblos vecinos.
Sistemas de numeración posicional y no posicional
Sistema posicional
§ Tienen orden. El valor de las unidades depende del lugar en que se encuentren. Poseen valor relativo.
§ Poseen 0 para indicar ausencia de unidades de un orden.
§ Gran agilidad para la resolución de operaciones
§ Son sistemas de numeración posicional el decimal, el indo-arábigo
Sistema no posicional
§ No existe el valor relativo. Siempre es absoluto.
§ Son de agrupación simple.
§ No usan 0.
§ Son aditivos.
§ Gran dificultad para la resolución de problemas.
§ Son sistemas de numeración no posicional el egipcio, el griego, el romano.
b. Sistemas de numeración en la historia: egipcios, babilonios, romanos, hindúes, etc. Características y generalidades de cada uno.
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.
Se usaban tanto de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba hacia abajo cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Al ser indiferente el orden se escribía a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc) cuyo número indicaban.
Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. Los babilonios fueron los primeros en contribuir al desarrollo de las matemáticas.
Los babilonios tenían un método de contar un poco complicado, su sistema numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas. Su aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y el 60, teniendo en cuenta el posicionamiento de estos caracteres así mismo se leían e interpretaba.
El símbolo q puede representar sesenta o uno, dependiendo de la posición en que se encuentre, al inicio o al final de un número a expresar, girando 90° a la derecha su valor cambia a 10. La representación de una resta era precedida por los caracteres qu, las cifras se escribían de derecha a izquierda, y se descifraban de la misma manera.
Sistema de Numeración Romano
El sistema de numeración romana se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio.
Este sistema es un sistema de numeración no-posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. No utiliza el principio de valor relativo, es decir, el valor de los símbolos siempre es el mismo sin que influya el lugar que ocupan.
A continuación se muestran los símbolos válidos en el sistema de numeración romana, y sus equivalencias decimales.
Romano | Decimal | Nota |
I | 1 | |
V | 5 | V es la mitad superior de X; en etrusco L |
X | 10 | |
L | 50 | |
C | 100 | Letra inicial de Centum. |
D | 500 | D, es la mitad de la Digamma f (como phi) |
M | 1000 | De Mille. Originalmente era la letra Digamma. |
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.
Reglas de generación
Las reglas para construir los números romanos usando los símbolos permitidos son complejas. En el sistema de numeración romano los símbolos (letras) se clasifican en tipo 1 (I, X, C y M) y tipo 5 (V, L y D).
Ø Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.
Ø El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.
Ø Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV = 4, IX = 9.
Ø Los símbolos de tipo5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.
Ø Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.
Ø Si un símbolo de tipo1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un símbolo de mayor valor. En este caso no se debe repetir el símbolo que resta, salvo las excepciones que se indican en las reglas siguientes.
Ø Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. En este caso está permitida la repetición del mismo símbolo sumando y restando. Ejemplos:
§ El símbolo I sólo puede restar a V y a X.
§ El símbolo X sólo resta a L y a C.
§ El símbolo C sólo resta a D y a M.
Ø No se permiten dos símbolos consecutivos restando. Para evitarlo esta permitido repetir un símbolo sumando y restando.
Ø Se permiten dos símbolos que aparezcan restando si no son consecutivos.
Ø No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 1.
Ø Un guión encima de un símbolo multiplica el valor del símbolo por 1000. Este método permitía escribir cantidades elevadas. Ejemplo:
_
C = 100 x 1000 = 100.000
_
M = 1000 x 1000 = 1.000.000
No siempre se representan estas reglas. En algunas inscripciones o en relojes, aparece IIII en lugar de IV para indicar el valor 4.
Sistema de Numeración Hindú
Los Hindúes desarrollaron por el año 570A.C. un práctico sistema de notación numérico al utilizar el principio posicional de las cifras en sus operaciones matemáticas, empezaron con mejorar el sistema griego; y el hebreo usando las nueve cifras para las decenas, centenas y millares. De esas nueve cifras derivaron todos los números; todo lo que se necesito fue dar a las cifras su valor de posición. La gran innovación fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco, llamado por los árabes como “sirf” que significa vacío; llego hasta nosotros como una “cifra” ó cero.
La importancia de este método incide en que la posición del dígito o cifra numérica es significativa. Mediante este sistema es posible escribir cualquier número usando tan solo diez (10) dígitos, o sea, es un sistema de numeración de base diez o decimal; el cual se convirtió en el sistema que utilizamos actualmente.
c. Sistema decimal: características, origen
Leonardo de Pisa fue uno de los primeros en introducir este nuevo sistema de numeración en Europa hacia el siglo VIII d. c. (fig. abajo). Los símbolos se representan en un manuscrito español fechado en 976 d.c., donde parecen las nuevas cifras numéricas, introducidas por los matemáticos árabes, quienes los tomaron de los hindúes.
Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
A éstos símbolos básicos indo-arábicos se les llama también dígitos.
Características principales del Sistema de Numeración Decimal Actual
Las reglas y convenciones que permiten expresar y escribir todos los números, constituye un sistema de numeración, se trata de un sistema decimal de base diez, en que cada cifra tiene un valor que depende del lugar que ocupa, o sea, que cada unidad de un determinado orden (derecha a izquierda) representa un valor diez veces mayor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la derecha.
Lo mismo se aplica para las cifras decimales, se escriben estas a la derecha de las unidades simples y se separan de estas con una coma, de esta manera se constituyen ordenes sucesivos donde cada cifra representa un valor diez veces menor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la izquierda.
En un numeral, cada dígito tiene un valor absoluto, un valor relativo y un valor posicional.
Valor absoluto: valor invariable que posee cada dígito, independientemente de la posición que ocupe dentro del orden establecido.
Valor relativo: valor que adopta cada dígito según la posición que ocupa en el orden establecido.
Valor posicional: valor de los dígitos según su posición en el numeral.
9ª posición | 8ª posición | 7ª posición | 6ª posición | 5ª posición | 4ª posición | 3ª posición | 2ª posición | 1ª posición |
Centenas de millón | Decenas de millón | Unidades de millón | Centenas de mil | Decenas de mil | Unidades de mil | Centenas | Decenas | Unidades |
CMi | DMi | UMi | CM | DM | UM | C | D | U |
Diez unidades forman una decena.
Diez decenas forman una centena.
Diez centenas forman una unidad de mil.
Diez unidades de mil forman una decena de mil.
Diez decenas de mil forman una centena de mil.
Diez centenas de mil forman una unidad de millón.
Diez unidades de millón forman una decena de millón.
Diez decenas de millón forman una centena de millón.
Para escribir una cifra en este sistema se colocan las cifras una a continuación de las otras, conviniendo en que cada una exprese unidades del orden indicado por el lugar que ocupa contando de derecha a izquierda. Se da el siguiente ejemplo de interpretación posicional de una cifra en este sistema:
Ej.) Expresar el número 42 875
42 785 donde las posiciones de las cifras son:
4 x 104 = 40 000 Decenas de mil
2 x 103 = 2 000 Unidades de mil
7 x 102 = 700 Centenas
8 x 101 = 80 Decenas
5 x 100 = 5 Unidades
42 785
d. Sistema binario, octal y hexadecimal. Pasaje de una forma a otra.
Sistema binario
Es un sistema posicional de base 2, que se emplea en el funcionamiento de computadoras electrónicas y atiende amplias aplicaciones en la tecnología moderna.
Su estructura es similar a los demás sistemas, pero llama la atención, pues solamente con los símbolos 0 y 1, podemos escribir cualquier número.
Equivalencia entre números escritos en sistema decimal y binario:
DECIMAL | BINARIO | DECIMAL | BINARIO |
1 | 1 | 9 | 1001 |
2 | 10 | 10 | 1010 |
3 | 11 | 11 | 1011 |
4 | 100 | 12 | 1100 |
5 | 101 | 13 | 1101 |
6 | 110 | 14 | 1110 |
7 | 111 | 15 | 1111 |
8 | 1000 | 16 | 10000 |
Ejemplo:
110012, se lee: uno, uno, cero, cero, uno en base dos.
Origen:
Godofredo Guillermo Leibniz (filósofo y matemático alemán 1646-1716), observó que podía representar cualquier número con las cifras 0 y 1, en vez de emplear 10 cifras como en el sistema decimal.
Esta idea de un sistema binario que presentó, quizás como una curiosidad en su tiempo, ha resultado muy útil y de gran importancia para las modernas máquinas de calcular electrónicas.
Sistema octal
Es aquel que utiliza 8 números comprendidos del 0 al 7 (de base 8). Los números octales pueden hacerse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de éstos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Este tipo de sistema es usado más que todo en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en vez de la decimal, por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín “nueve” (novem), se parece tanto a “nuevo” (novus). Podría tener el significado de número nuevo.
Sistema hexadecimal
Es aquel sistema que utiliza dieciséis dígitos para su aplicación de los cuales se comprenden diez números decimales (0 al 9) y completa los números faltantes con las primeras seis letras de el alfabeto ("A" a la "F"). Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación.
Cuadro en común de los cuatro sistemas:
Decimal | Binario | Hexadecimal | Octal |
0 | 00000 | 0 | 0 |
1 | 00001 | 1 | 1 |
2 | 00010 | 2 | 2 |
3 | 00011 | 3 | 3 |
4 | 00100 | 4 | 4 |
5 | 00101 | 5 | 5 |
6 | 00110 | 6 | 6 |
7 | 00111 | 7 | 7 |
8 | 01000 | 8 | 10 |
9 | 01001 | 9 | 11 |
10 | 01010 | A | 12 |
11 | 01011 | B | 13 |
12 | 01100 | C | 14 |
13 | 01101 | D | 15 |
14 | 01110 | E | 16 |
15 | 01111 | F | 17 |
16 | 10000 | 10 | 20 |
17 | 10001 | 11 | 21 |
… | … | … | … |
30 | 11110 | 1E | 36 |
31 | 11111 | 1F | 37 |
32 | 100000 | 20 | 40 |
Pasajes
§ De decimal a binario
Para cambiar un número decimal a un número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el cociente y el resto. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea uno. Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el resto. Para obtener el número binario, una vez llegado a l uno indivisible, se encuentra el último cociente, el uno final (todo número binario excepto el cero empieza por uno), seguido de los restos de las divisiones subsiguiente. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema binario.
Ejemplo: nº 26
26 | 2 | |||
0 | 13 | 2 | ||
1 | 6 | 2 | ||
0 | 3 | 2 | ||
1 | 1 |
0 1 0 1 1
leer
2610= 110102
§ De binario a decimal
Para realizar esta conversión hay que hacer lo siguiente:
1. Iniciar por el lado derecho del número binario, cada número multiplicarlo por dos y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumar todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplo:
Binario = Decimal
1101012 = 5310
Proceso:
1x20=1
0x21=0
1x22=4
0x23=0
1x24=16
1x25=32
La suma es: 53
§ De binario a octal
La conversión entre binario y octal es casi directa.
Por ejemplo: si tenemos el número: 100100100010001011010012
Para convertirlo a octal agrupamos los dígitos de tres en tres empezando por la derecha, y rellenamos con ceros a la izquierda hasta tener sólo grupos de tres bits ó dígitos:
010 010 010 001 000 101 101 001
A cada grupo de tres dígitos le podemos hacer corresponder un dígito octal, al 000 el 0, al 001 el 1, al 010 el 2……, al 111 el 7.
Así podemos traducir directamente el número anterior a octal:
222105518 (octal)
§ De octal a binario
La conversión entre octal y binario es simple:
Si el número octal es:
1258
Cambiamos cada dígito octal por su equivalente binario:
001 010 101
Y después eliminamos los separadores y los ceros iniciales:
10101012 (binario)
§ De Decimal a octal
Se realiza de la misma manera que el pasaje del sistema binario. Se divide el número por 8, de la división obtenemos dos números; uno se llamará resto y otro cociente. Si el cociente es mayor que 7, se divide el cociente entre 8. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea menor que 7.
Para obtener el número octal, una vez llegado al número indivisible por 7, se encuentra el último cociente, seguido de los restos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el octal que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema octal.
85 | 8 | |
5 | 10 | 8 |
2 | 1 |
521
Se lee
125
8510 = 1258
§ De octal a decimal
1- Iniciar por el lado derecho del número octal, cada número multiplicarlo por ocho y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).
2- Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumar todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.
Ejemplo:
125
Octal-decimal:
Proceso:
5 x 80 = 5 x 1 = 5
2 x 81 = 2 x 8 = 16
1 x 82 = 1 x 64 = 64
5 + 16 + 64 = 85
1258 = 8510
§ De decimal a hexadecimal
Se realiza de la misma manera que el pasaje del sistema binario y octal. Se divide el número por 16(número de cifras del sistema hexadecimal), de la división obtenemos dos números; uno se llamará resto y otro cociente. Si el cociente es mayor que 16, se divide el cociente entre 16. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea menor que 16.
Para obtener el número hexadecimal, una vez llegado al número indivisible por 16, se encuentra el último cociente, seguido de los restos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el hexadecimal que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema hexadecimal.
364 | 16 | |
12 | 22 | 16 |
6 | 1 |
1 6 12
1 = 1 en el sistema hexadecimal
6 = 6 en el sistema hexadecimal
12 = C en el sistema hexadecimal
Se lee: 16C
36410 = 16C16
§ De hexadecimal a decimal
Se inicia por el lado derecho del número hexadecimal, a las letras se las reemplaza por los números correspondientes; luego se los multiplica por 16 y se los eleva a la potencia consecutiva empezando por cero. Después se realizan las multiplicaciones y se suman los resultados.
Ejemplo:
16C
C = 12 12 x 160 = 12 x 1 = 12
6 = 6 6 x 161 = 6 x 16 = 96
1 = 1 1 x 162 = 1 x 265 = 256
12 + 96 + 256 = 354
16C16 = 35410
e. Reflexión sobre la conveniencia o no de la enseñanza de estos temas:
Consideramos prioritario la enseñanza del Sistema de Numeración Decimal, creemos que el alumno debe llegar a comprenderlo y utilizarlo sin ningún tipo de problema, ya que lo empleará el resto de su vida.
A los demás Sistemas (Binario, Octal y Hexadecimal), suponemos que si bien no son tan necesarios como el Sistema Decimal, sí habría que exponerlos para que sepan que no solo existe un Sistema de Numeración, pero no profundizarlos.
En cuanto a los Sistemas de Numeración Hindú, Egipcio, Babilónico y Romano, dependiendo de los intereses de los alumnos, explicarles o no estos Sistemas. Si es un grupo desinteresado en el tema, sólo exponer el sistema Romano, que es el más utilizado de los cuatro.
f. Situaciones problemáticas sobre sistemas de numeración de distintas bases
1- Expresa en sistema binario:
a- Tu edad
b- Tu peso
c- Tu grado
d- El número hermanos que tienes
e- El número de alumnos de tu grado
f- El número de los meses del año
g- El número de los días de la semana
h- El número de las semanas del año
a-Tu edad: 14 años:
14 | 2 | ||
0 | 7 | 2 | |
1 | 3 | 2 | |
1 | 1 |
Respuesta: 14(10) = 1110(2)
b- Tu peso: 51 Kg.
51 | 2 | ||||
1 | 25 | 2 | |||
1 | 12 | 2 | |||
0 | 6 | 2 | |||
0 | 3 | 2 | |||
1 | 1 |
Respuesta: 51(10)= 110011(2)
c- Tu grado: 9º
9 | 2 | ||
1 | 4 | 2 | |
0 | 2 | 2 | |
0 | 1 |
Respuesta: 9(10)= 1001(2)
d- Hermanos: 3
3 | 2 |
1 | 1 |
Respuesta: 3(10) = 11(2)
e- El número de alumnos: 23
23 | 2 | |||
1 | 11 | 2 | ||
1 | 5 | 2 | ||
1 | 2 | 2 | ||
0 | 1 |
Respuesta: 23(10) = 10111(2)
f- Meses del año: 12
12 | 2 | ||
0 | 6 | 2 | |
0 | 3 | 2 | |
1 | 1 |
Respuesta: 12(10) = 1100(2)
g- Días de la semana: 7
7 | 2 | |
1 | 3 | 2 |
1 | 1 |
Respuesta: 7(10) = 111(2)
h- Semanas en un año: 52
52 | 2 | ||||
0 | 26 | 2 | |||
0 | 13 | 2 | |||
1 | 6 | 2 | |||
0 | 3 | 2 | |||
1 | 1 |
Respuesta: 52(10) = 110100(2)
2- En una imprenta se imprimen 500 libros por día. Se los guarda en bolsas de 8 libros. Luego se los coloca en cajas de 8 bolsas cada una. ¿Cuantas cajas de 8 bolsas se realizan por día? ¿Quedan libros sueltos? Completa el cuadro y verifica:
500 | 8 | |
4 | 62 | 8 |
6 | 7 |
Cajas | bolsas | Libros sueltos |
7 | 6 | 4 |
500(10) = 764(8)
Verificación:
4 x 80 = 4 x 1 = 4
6 x 81 = 6 x 8 = 48
7 x 82 = 7 x 64 = 448
4 + 48 +448 = 500
Respuesta: Se realizan por día 7 cajas. Quedan 4 libros sueltos
3- En una plantación se producen 1000 manzanas. Se las guarda en cajones de 16 manzanas cada uno. Se las carga en una camioneta para llevar al mercado, en esta entran 16 cajones, debe salir siempre llena.¿Cuantos viajes se hacen? ¿Quedan cajones en la plantación? ¿Y manzanas sueltas?
Viajes | Cajones | Manzanas |
3 | 14 | 8 |
1000 | 16 | |
8 | 62 | 16 |
14 | 3 |
3E8(16) = 1000(10)
Verificación:
8 x 160 = 8 x 1 = 8
E x 161 = 14 x 16 = 224
3 x 162 = 3 x 256 = 768
8 + 224 + 786 = 1000
Respuesta: Se hacen 3 viajes, quedan 14 cajones en la plantación y 8 manzanas sueltas.
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