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Salto, Buenos Aires, Argentina
Nací el 9 de Noviembre de 1982, estudio Profesorado para tercer ciclo de la EGB y Educación Polimodal en Matemática, en el Instituto Superior de Formación Docente y Técnica N°126.

jueves, 9 de diciembre de 2010

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Corrientes Didácticas Contemporáneas

Aportes para la Lectura y Análisis del Texto:
Corrientes Didácticas Contemporáneas


Capítulo I: “de herencias, deudas y legados. Una introducción a las corrientes actuales de la didáctica”(Alicia W. de Camilloni).

Capítulo II: “conflictos en la evolución de la Didáctica. La demarcación de la Didáctica General y las Didácticas Especiales”(María Cristina  Davini).


Propuesta de Trabajo
Capítulo I

·         Conformación de la Didáctica como Disciplina:
Al tratar de visualizar el campo de la Didáctica de Modo Integral (Didáctica General), se reconocen aportes de autores de otras áreas disciplinarias.
o   Identifica y explica los dos aportes que menciona la autora Alicia De Camilloni.
Aporte 1, Jerome Bruner: Psicólogo convertido en humanista interesado por la educación. A partir de su formación como Psicólogo se convierte en un teórico de la instrucción, interesado por la enseñanza y otras cuestiones relacionadas con la epistemología, las teorías del desarrollo en general, la filosofía y la lingüística.
Aporte 2, Joseph Schwab: Su origen disciplinario era la biología. Fue convocado al igual que Bruner para proyectar diseños curriculares destinados a replantear la enseñanza de los dominios de sus especialidades del ámbito académico. Reconocido como un destacado teórico del currículum por sus importantes aportes al análisis del problema y sus propuestas de reconceptualización.

o   Relación de la Didáctica con la Psicología (Conductismo – Cognitivismo como sustento de la Didáctica)
Esta relación parece generar una deuda imposible de saldar. La Didáctica comienza a convertirse en una Disciplina Científica en el momento en el que la Psicología se reconoce como Disciplina Científica, debido a que la Didáctica se apoya en ella. Es así cómo hereda distintos enfoques, teorías o programas de investigación de la Psicología.
La Didáctica extrae dos posturas de la Psicología:
v  Conductismo: programa de Investigación Científica.
v  Cognitivismo: programa más amplio o contenedor que proporciona nuevas bases que sustentan a la Didáctica.
Ambas posturas son opuestas.


·         Problemas planteados ante el abordaje del campo de la Didáctica desde una mirada específica de la enseñanza de una determinada disciplina.
o   Analiza la corriente de la Ingeniería Didáctica en el área de la Matemática y su relación con la Didáctica General.
Un problema se plantea cuando la corriente se origina en autores que parten de los problemas específicos de la enseñanza de su disciplina y lo trasladan a otras disciplinas.
En la corriente de la Ingeniería Didáctica, los matemáticos generan teorías que nacen en una Disciplina Científica (Didáctica Especial) e intentan o logran ocupar el campote la enseñanza en general (Didáctica General), lo cual podría conducirnos a reflexionar acerca de los riesgos y beneficios que este proceso implica para una Didáctica General.

·         Conclusión:
o   Cuando hablamos del estado actual de la Didáctica nos encontramos con un panorama complejo: ¿por qué? Fundamenta la idea anterior.
Por un lado personifican las corrientes con algunos autores. Por otro se pueden categorizar en relación con los distintos programas de Investigación Científica (muchos no originados dentro de la Didáctica, sino que aparecen en otras disciplinas). Por último, la divergencia entre teorías Científicas produce y genera nuevas corrientes nacidas desde una Didáctica Especial que pretenden, intentan o logran ocupar el campo de la Didáctica General.

·         Influencia de la Escuela Crítica sobre la Didáctica:
o   La Didáctica tiene como objeto comprender y operar desde los sujetos y desde las prácticas particulares.
Desde el lugar de la Investigación Cuantitativa se ha procurado interpretar los procesos que caracterizan la vida del aula, reconstruyendo los significados de los individuos, que ni se observan directamente ni pueden cuantificarse.

o   Los problemas de enseñanza son situaciones, las soluciones se dan desde un enfoque contextualizado.
Para ello impulsan la investigación como componente del desarrollo del currículum y la participación directa de los docentes en el proceso. Destacan la importancia de apoyar el pensamiento del profesor para tal desarrollo desde el lenguaje de la práctica.

·         Más relevante que determinar reglas de actuación (Base Normativa de la Didáctica), es favorecer el desarrollo reflexivo y crítico de los docentes, para comprender y operar en la enseñanza.
o   Riesgos de la postura anterior: (reducir el análisis a datos del contexto particular).
Propone sostener la reflexión y la comprensión de la totalidad en lo particular, dentro del proceso de formación docente, para fortalecer su juicio y su papel de intelectuales en la organización de la cultura.
Se apoya en la ausencia de criterios básicos de acción propuestas por la Didáctica (que permiten operar casos concretos y realizar acciones críticas en la escuela), lo que conduce el problema a límites peligrosos.

o   Propuesta superadora del riesgo anterior: (plantear una nueva Didáctica con una base normativa que represente un mínimo acuerdo válido para ser utilizado en el análisis de situaciones particulares).
Conocimientos públicos que puedan ser compartidos y utilizados por distintas personas y no sea sólo patrimonio de la institución infalible del sujeto que investiga o que enseña. Así contribuiríamos a la transformación de las relaciones socioculturales en la escuela y en la enseñanza, en la práctica concreta y no sólo en los principios teóricos.

·         Evolución actual en la Producción Didáctica:
o   Construcción de megateorías en la Didáctica General, sin considerar las reglas de acción.
Están comprometidas con un discurso interpretativo que pretende reunir el abanico de Producciones Científicas en un marco global comprensivo.

o   Elaboración de teorías Diafragmáticas en las Didácticas Especiales (se limitan al estudio de una disciplina, Chevallard en Matemática).
Éstas se focalizan en una o dos dimensiones, reducen el proceso de enseñanza a una tarea formativa en las distintas materias y se constituyen como teorías autonomizadas y fragmentarias.

·         La situación actual de la Didáctica:
o   Punto de partida, hipótesis: (el campo de la Didáctica es reconocido y remarcado por los didactas, pero es un campo difícilmente reconocido por otras disciplinas)
¿Cuál es la situación actual de la didáctica con respecto a su identidad?
Hoy es una disciplina en busca de su identidad, a pesar de sus múltiples intentos por consolidar límites entre las disciplinas de las Ciencias Sociales. Las fronteras se orientan a confundirse entre ellas y desaparecer. No es momento de buscar su identidad, sino tal vez de establecer  vínculos con otras disciplinas. El enfoque de mayor valor constructivo de su identidad resultará del estilo de construcción, tipo de enunciado y el uso de los aportes de otras ciencias que se ocupan de objetos sociales sólidos y consistentes (a su vez son compartidos por varias ciencias).
La Didáctica se ocupa de algunos problemas que son objetos propios y exclusivos de ella, en los cuales se está realizando un trabajo sobre los que pueden denominarse temas-objeto. Nuestra disciplina es una teoría de la enseñanza heredera y deudora de muchas otras disciplinas. Se está constituyendo con un objeto polisémico, pero que constituye un objeto sólido de conocimiento y acción (el proceso de enseñanza-aprendizaje, como objeto de conocimiento de la didáctica y como propósito de la acción educativa).

Capítulo II

·         Temática: definición del ámbito de la Didáctica General y de las Didácticas Especiales en el debate actual en la línea de desarrollo de la Didáctica.
o   Tendencia actual a definir las Didácticas Especiales sin relación con el marco de la Didáctica General.
Por un lado, los especialistas de distintas disciplinas reconceptualizaron la Didáctica alrededor de los contenidos de la enseñanza. Definen Didácticas Especiales como ampos específicos de las respectivas ciencias y cuestionan la existencia de la Didáctica General.
Los didactas generalistas realizan frecuentes análisis sobre la delimitación epistemológica de la Didáctica como campo de conocimiento. Hay muchos puntos de controversias, es allí donde se observan tendencias a conformarse como un conjunto de teorías de distintos orígenes.
La disputa en la Didáctica es entre diversas disciplinas que pretenden explicar y otras actuar sobre la enseñanza, para ello tendrían que trabajar en forma interdisciplinaria. Sin embargo, la interdisciplinariedad en las Ciencias Sociales y Humanas está lejos de ser una actividad consolidada.

o   Surgimiento Histórico de la Didáctica como espacio de Concreción Normativa.
Surge dentro de una concepción conflictiva y hasta ingenua de sociedad y sujeto. Desde su matriz (Didáctica Magna 1657 - Comenio). La Disciplina se constituye en el ámbito de organización de las reglas de método para hacer que la enseñanza sea eficaz (basada en el Empirismo de Bacon y el Realismo de Ratke). Enfoca el disciplinamiento de la conducta basándose en las premisas de armonía con la Naturaleza.
En el siglo XIX apunta al desarrollo de los pasos formales de la enseñanza, enfatizando el proceso de instrucción como transmisión del saber. Así se conforma la producción del discurso de al Didáctica: * la búsqueda de utopías pedagógicas
* la concreción de reglas de acción para la enseñanza conforme a pasos y medios determinados
* el desarrollo de sistemas educativos modernos y el optimismo pedagógico con respecto a la construcción de una sociedad justa y humana como responsabilidad de los estados


o   Cambios producidos por la influencia de la Escuela Nueva (s. XX). En Didáctica deja de investigarse desde un modelo positivista.
Cambios: la expansión de la escolaridad pública, el liberalismo político y los paulatinos avances del conocimiento de la psicología del desarrollo, facilitan la creación de experiencias en el campo de la Didáctica.
Aparecen las especializaciones de las propuestas Didácticas formadas según las etapas evolutivas del alumno (marcadas por la psicología). Aquí se desplaza el disciplinamiento y la instrucción hacia el desarrollo del sujeto del aprendizaje (siglo del Niño).
La aparición de Didácticas Especiales para distintos niveles o ciclos de la enseñanza produce un desplazamiento del sujeto de la enseñanza hacia la organización del sistema escolar. Así se debilita la demarcación epistemológica de las especializaciones.

o   La Base Normativa de la Didáctica (Normatividad) como “bisagra” para cambios en su objeto de estudio (Bisagra entre la teoría y la acción).
La Normatividad funciona como bisagra de los postulados de las utopías pedagógicas y las prácticas educativas. Integraba componentes básicos de la Ciencia de la Educación:
v  La explicación (producto de la Ciencia de la época)
v  La norma (como los postulados en la acción)
v  La utopía (como motor o brújula orientadora del cambio)
Un punto de distorsión de esta armonía se encuentra en la expansión del enfoque tecnicista de la enseñanza. A partir de la post guerra y de la expansión del Industrialismo, la hegemonía en la Didáctica desliga el criterio normativo del debate ideológico.
La Didáctica se desarrolla como la expansión de la tecnocracia basada en una epistemología ingenua que renuncia a la construcción teórica propia de una sociología espontánea.
Las propuestas Didácticas significaron el refuerzo de la certeza metódica, basada en el objetivismo, la neutralidad política y la eliminación simbólica del sujeto y de los hechos de conciencia.
Sus desarrollos se basaron en las conclusiones de la epistemología conductista y en la expansión de la Planificación Científica (confunde realidad con estadísticas).

·         La Didáctica se aleja del enfoque Tecnicista (la Didáctica se plantea como el conjunto de Técnicas, sin analizar el “¿qué?” y el “¿para qué?” de la Enseñanza), que le resta Status Científico.
o   Las Didácticas Especiales (por Disciplina) imponen el dominio y autonominación en la producción y la intervención en la práctica escolar.
Analiza las propuestas presentadas por las Didácticas Especiales, que presentan un Carácter General y son aplicables al campo de la Didáctica General.
Se puede plantear que estas propuestas Didácticas no representarían producciones correspondientes a Disciplinas Específicas o autonomizadas. Las ideas centrales pueden intercambiarse entre las diferentes áreas sin perder su potencialidad. Con ello estarían resultando producciones significativas generalizables.
Representan productos de un diálogo entre especialistas de distintos campos y los aportes de corrientes actuales de la Psicología Cognitiva (Piaget, Inhelder, Bruner, Vigotsky, Ausubel y otros) y del aprendizaje.
La hegemonía del discurso de la psicología sigue presente, sólo que articulada al aprendizaje de un campo determinado de conocimientos.






·         Conclusión:
o   La Didáctica General y sus especializaciones (Didácticas Especiales) están relacionadas y unidas.
Hoy es ya un acuerdo que los espacios de especialización requieran la participación de los expertos en el contenido disciplinario, dejando a un lado la pretensión Tecnicista de plantear a la Didáctica como un repertorio de técnicas independientes.
Sin embargo, esto no implica que la Didáctica General desaparezca como disciplina, por el contrario llevaría a pensar en las Especializaciones como desarrollos  didácticos en los distintos campos disciplinarios, más que en disciplinas autonomizadas.
Algo más: la enseñanza plantea desafíos que requieren propuestas que solo pueden elaborarse dentro de la Didáctica General. Esto quiere decir, que no se resuelve desde ninguna Especialización ni desde la Psicología.

Sistemas de Numeración


  1. ¿Qué es un Sistema de Numeración?

Un Sistema de numeración es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos. Estas reglas permiten establecer operaciones y relaciones entre dichos símbolos. A lo largo de la historia, el hombre, ha empleado Sistemas de Numeración; por ejemplo el Romano, el Egipcio, el Babilonio, etc.

Un Sistema de Numeración puede representarse como N=S+R donde:
·           N es el sistema de numeración considerado.
·           S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son 0,1...9; en el binario son 0,1; en el octal son 0,1...7; en el hexadecimal son 0,1...9, A,B,C,D,E,F.
·           R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles no-válidos en el sistema.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se puede utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeración utilizado se añade como subíndice al número)

Ejemplos:
ü  El número 125(10) es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A(10) no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
ü  El número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8) no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.

Historia


Aunque se carece de información fidedigna acerca de la forma como el hombre primitivo empezó a valerse de un sistema numérico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas poseía; como también para conocer el número de armas que tenía, o para cuantificar la extensión de los terrenos sembrados o conquistados.

También cuando éste se dedicó a la agricultura, tuvo que idear un sistema para medir le tiempo en las épocas de siembra y cosecha., finalmente en su etapa de comerciante, necesito crear un sistema para fijar el peso, volumen  y el valor de sus productos para intercambiarlos con los pueblos vecinos.


Sistemas de numeración posicional y no posicional 


Sistema posicional

§   Tienen orden. El valor de las unidades depende del lugar en que se encuentren. Poseen valor relativo.
§   Poseen 0 para indicar ausencia de unidades de un orden.
§   Gran agilidad para la resolución de operaciones
§   Son sistemas de numeración posicional el decimal, el indo-arábigo

Sistema no posicional

§   No existe el valor relativo. Siempre es absoluto.
§   Son de agrupación simple.
§   No usan 0.
§   Son aditivos.
§   Gran dificultad para la resolución de problemas.
§   Son sistemas de numeración no posicional el egipcio, el griego, el romano.

b.    Sistemas de numeración en la historia: egipcios, babilonios, romanos, hindúes, etc. Características y generalidades de cada uno.



Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

Se usaban tanto de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba hacia abajo cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribía a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc) cuyo número indicaban.



Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. Los babilonios fueron los primeros en contribuir al desarrollo de las matemáticas.

Los babilonios tenían un método de contar un poco complicado, su sistema numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas. Su aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y el 60, teniendo en cuenta el posicionamiento de estos caracteres así mismo se leían e interpretaba.

El símbolo q puede representar sesenta o uno, dependiendo de la posición en que se encuentre, al inicio o al final de un número  a expresar, girando 90° a la derecha su valor cambia a 10. La representación de una resta era precedida por los caracteres qu, las cifras se escribían de derecha a izquierda, y se descifraban de la misma manera.


Sistema de Numeración Romano

El sistema de numeración romana se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio.

Este sistema es un sistema de numeración no-posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. No utiliza el principio de valor relativo, es decir, el valor de los símbolos siempre es el mismo sin que influya el lugar que ocupan.

A continuación se muestran los símbolos válidos en el sistema de numeración romana, y sus equivalencias decimales.


Romano



Decimal



Nota

I
1

V
5
V es la mitad superior de X; en etrusco L
X
10

L
50

C
100
Letra inicial de Centum.
D
500
D, es la mitad de la Digamma f (como phi)
M
1000
De Mille. Originalmente era la letra Digamma.

 

Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.



Reglas de generación


Las reglas para construir los números romanos usando los símbolos permitidos son complejas. En el sistema de numeración romano los símbolos (letras) se clasifican en tipo 1 (I, X, C y M) y tipo 5 (V, L y D).

Ø  Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.

Ø  El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.

Ø  Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV = 4, IX = 9.

Ø  Los símbolos de tipo5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.

Ø  Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.

Ø  Si un símbolo de tipo1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un símbolo de mayor valor. En este caso no se debe repetir el símbolo que resta, salvo las excepciones que se indican en las reglas siguientes.

Ø  Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. En este caso está permitida la repetición del mismo símbolo sumando y restando. Ejemplos:
§   El símbolo I sólo puede restar a V y a X.
§   El símbolo X sólo resta a L y a C.
§   El símbolo C sólo resta a D y a M.

Ø  No se permiten dos símbolos consecutivos restando. Para evitarlo esta permitido repetir un símbolo sumando y restando.

Ø  Se permiten dos símbolos que aparezcan restando si no son consecutivos.

Ø  No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 1.

Ø  Un guión encima de un símbolo multiplica el valor del símbolo por 1000. Este método permitía escribir cantidades elevadas. Ejemplo:
_
C = 100 x 1000 = 100.000
_
M = 1000 x 1000 = 1.000.000

No siempre se representan estas reglas. En algunas inscripciones o en relojes, aparece IIII en lugar de IV para indicar el valor 4.


Sistema de Numeración  Hindú

Los Hindúes desarrollaron por el año 570A.C. un práctico sistema de notación numérico al utilizar el principio posicional de las cifras en sus operaciones matemáticas, empezaron con mejorar el sistema griego; y el hebreo usando las nueve cifras para las decenas, centenas y millares. De esas nueve cifras derivaron todos los números; todo lo que se necesito fue dar a las cifras su valor de posición. La gran innovación fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco, llamado por los árabes como “sirf” que significa vacío; llego hasta nosotros como una “cifra” ó cero.

La importancia de este método incide en que la posición del dígito o cifra numérica es significativa. Mediante este sistema es posible escribir cualquier número usando tan solo  diez (10) dígitos, o sea, es un sistema de numeración de base diez o decimal; el cual se convirtió en el sistema que utilizamos actualmente.




c.    Sistema decimal: características, origen

Leonardo de Pisa fue uno de los primeros en introducir este nuevo sistema de numeración en Europa hacia el siglo VIII d. c. (fig. abajo). Los símbolos se representan en un manuscrito español fechado en 976 d.c., donde parecen las nuevas cifras numéricas, introducidas por los matemáticos árabes, quienes los tomaron de los hindúes.

Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes:
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
A éstos símbolos básicos indo-arábicos se les llama también dígitos.


Características principales del Sistema de Numeración Decimal Actual

Las reglas y convenciones que permiten expresar y escribir todos los números, constituye un sistema de numeración, se trata de un sistema decimal de base diez, en que cada cifra tiene un valor que depende del lugar que ocupa, o sea, que cada unidad de un determinado orden (derecha a izquierda) representa un valor diez veces mayor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la derecha.

Lo mismo se aplica para las cifras decimales, se escriben estas a la derecha de las unidades simples y se separan de estas con una coma, de esta manera se constituyen ordenes sucesivos donde cada cifra representa un valor diez veces menor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la izquierda.

En un numeral, cada dígito tiene un valor absoluto, un valor relativo y un valor posicional.

Valor absoluto: valor invariable que posee cada dígito, independientemente de la posición que ocupe dentro del orden establecido.

Valor relativo: valor que adopta cada dígito según la posición que ocupa en el orden establecido.

Valor posicional: valor de los dígitos según su posición en el numeral.

posición
posición
posición
posición
posición
posición
posición
posición
posición
Centenas de millón
Decenas de millón
Unidades de millón
Centenas de mil
Decenas de mil
Unidades de mil
Centenas
Decenas
Unidades
CMi
DMi
UMi
CM
DM
UM
C
D
U

Diez unidades forman una decena.
Diez decenas forman una centena.
Diez centenas forman una unidad de mil.
Diez unidades de mil forman una decena de mil.
Diez decenas de mil forman una centena de mil.
Diez centenas de mil forman una unidad de millón.
Diez unidades de millón forman una decena de millón.
Diez decenas de millón forman una centena de millón.

Para escribir una cifra en este sistema se colocan las cifras una a continuación de las otras, conviniendo en que cada una exprese unidades del orden indicado por el lugar que ocupa contando de derecha a izquierda. Se da el siguiente ejemplo de interpretación posicional de una cifra en este sistema:

Ej.) Expresar el número 42 875
42 785 donde las posiciones de las cifras son:
4 x 104 = 40 000 Decenas de mil
2 x 103 = 2 000 Unidades de mil
7 x 102 = 700 Centenas
8 x 101 = 80 Decenas
5 x 100 = 5 Unidades
42 785

d.    Sistema binario, octal y hexadecimal. Pasaje de una forma a otra.

Sistema binario
Es un sistema posicional de base 2, que se emplea en el funcionamiento de computadoras electrónicas y atiende amplias aplicaciones en la tecnología moderna.

Su estructura es similar a los demás sistemas, pero llama la atención, pues solamente con los símbolos 0 y 1, podemos escribir cualquier número.

Equivalencia entre números escritos en sistema decimal y binario:

DECIMAL
BINARIO
DECIMAL
BINARIO
1
1
9
1001
2
10
10
1010
3
11
11
1011
4
100
12
1100
5
101
13
1101
6
110
14
1110
7
111
15
1111
8
1000
16
10000

Ejemplo:
110012, se lee: uno, uno, cero, cero, uno en base dos.

Origen:
Godofredo Guillermo Leibniz (filósofo y matemático alemán 1646-1716), observó que podía representar cualquier número con las cifras 0 y 1, en vez de emplear 10 cifras como en el sistema decimal.

Esta idea de un sistema binario que presentó, quizás como una curiosidad en su tiempo, ha resultado muy útil y de gran importancia para las modernas máquinas de calcular electrónicas.

Sistema octal
Es aquel que utiliza 8 números comprendidos del 0 al 7 (de base 8). Los números octales pueden hacerse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de éstos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Este tipo de sistema es usado más que todo en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en vez de la decimal, por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín “nueve” (novem), se parece tanto a “nuevo” (novus). Podría tener el significado de número nuevo.
Sistema hexadecimal
Es aquel sistema que utiliza dieciséis dígitos para su aplicación de los cuales se comprenden diez números decimales (0 al 9) y completa los números faltantes con las primeras seis letras de el alfabeto ("A" a la "F"). Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación.

Cuadro en común de los cuatro sistemas:

Decimal
Binario
Hexadecimal
Octal
0
00000
0
0
1
00001
1
1
2
00010
2
2
3
00011
3
3
4
00100
4
4
5
00101
5
5
6
00110
6
6
7
00111
7
7
8
01000
8
10
9
01001
9
11
10
01010
A
12
11
01011
B
13
12
01100
C
14
13
01101
D
15
14
01110
E
16
15
01111
F
17
16
10000
10
20
17
10001
11
21
30
11110
1E
36
31
11111
1F
37
32
100000
20
40



Pasajes

§  De decimal a binario
Para cambiar un número decimal a un número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el cociente y el resto. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea uno. Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el resto. Para obtener el número binario, una vez llegado a l uno indivisible, se encuentra el último cociente, el uno final (todo número binario excepto el cero empieza por uno), seguido de los restos de las divisiones subsiguiente. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema binario.
Ejemplo: nº 26

26
2



0
13
2



1
6
2



0
3
2



1
1
0          1          0          1          1
leer

2610= 110102


§  De binario a decimal
Para realizar esta conversión hay que hacer lo siguiente:
1.    Iniciar por el lado derecho del número binario, cada número multiplicarlo por dos y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).
2.    Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumar todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

                                           Ejemplo:
                                           Binario  = Decimal
                                           1101012 = 5310
                                           Proceso:
                                           1x20=1
                                           0x21=0
                                           1x22=4
                                           0x23=0
                                           1x24=16
                                           1x25=32
                                           La suma es: 53

§  De binario a octal
La conversión entre binario y octal es casi directa.

Por ejemplo: si tenemos el número: 100100100010001011010012

Para convertirlo a octal agrupamos los dígitos de tres en tres empezando por la derecha, y rellenamos con ceros a la izquierda hasta tener sólo grupos de tres bits ó dígitos:

010   010   010   001   000   101   101   001

A cada grupo de tres dígitos  le podemos hacer corresponder un dígito octal, al 000 el 0, al 001 el 1, al 010 el 2……, al 111 el 7.
Así podemos traducir directamente el número anterior a octal:

222105518 (octal)

§  De octal a binario
La conversión entre octal y binario es simple:

Si el número octal es:

1258

Cambiamos cada dígito octal por su equivalente binario:

001   010   101

Y después eliminamos los separadores y los ceros iniciales:

10101012 (binario)


§  De Decimal a octal
Se realiza de la misma manera que el pasaje del sistema binario. Se divide el número por 8, de la división obtenemos dos números; uno se llamará resto y otro cociente. Si el cociente es mayor que 7, se divide el cociente entre 8. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea menor que 7. 
Para obtener el número octal, una vez llegado al número indivisible por 7, se encuentra el último cociente, seguido de los restos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el octal que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema octal.


                                                        


85
8

5
10
8

2
1





                              521
                                          
                            Se lee
                              125 
8510 = 1258

§  De octal a decimal 
1-        Iniciar por el lado derecho del número octal, cada número multiplicarlo por ocho y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).
2-        Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumar todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplo:
125
Octal-decimal:
Proceso:
5 x 80 = 5 x 1 = 5
2 x 81 = 2 x 8 = 16
1 x 82 = 1 x 64 = 64

5 + 16 + 64 = 85
1258 = 8510

§  De decimal a hexadecimal
Se realiza de la misma manera que el pasaje del sistema binario y octal. Se divide el número por 16(número de cifras del sistema hexadecimal), de la división obtenemos dos números; uno se llamará resto y otro cociente. Si el cociente es mayor que 16, se divide el cociente entre 16. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea menor que 16. 
Para obtener el número hexadecimal, una vez llegado al número indivisible por 16, se encuentra el último cociente, seguido de los restos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el hexadecimal que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema hexadecimal.




364
16

12
22
16

6
1


             1  6  12
             1 = 1 en el sistema hexadecimal
             6 = 6 en el sistema hexadecimal
           12 = C en el sistema hexadecimal
           Se lee: 16C

36410 = 16C16

§  De hexadecimal a decimal
Se inicia por el lado derecho del número hexadecimal, a las letras se las reemplaza por   los números correspondientes; luego se los multiplica por 16 y se los eleva a la potencia consecutiva empezando por cero. Después se realizan las multiplicaciones y se suman los resultados.

Ejemplo:
                   16C
    
        C =  12               12 x 160 = 12 x 1 = 12
        6 = 6                     6 x 161 = 6 x 16 =  96
        1 = 1                     1 x 162 = 1 x 265 = 256

12 + 96 + 256 = 354

16C16 = 35410

e.    Reflexión sobre la conveniencia o no de la enseñanza de estos temas:

Consideramos prioritario la enseñanza del Sistema de Numeración Decimal, creemos que el alumno debe llegar  a  comprenderlo y  utilizarlo  sin ningún tipo de problema, ya que lo empleará  el resto de su vida.

A los demás Sistemas (Binario, Octal y Hexadecimal), suponemos  que si bien no son tan necesarios como el Sistema  Decimal, sí habría que exponerlos para que sepan que no solo existe un Sistema de Numeración, pero no profundizarlos.

En cuanto a los Sistemas de Numeración Hindú, Egipcio, Babilónico y Romano, dependiendo de los intereses de los alumnos, explicarles o no estos Sistemas. Si es un grupo desinteresado en el tema, sólo exponer el sistema Romano, que es el más utilizado de los cuatro.

f.     Situaciones problemáticas sobre sistemas de numeración de distintas bases

1- Expresa en sistema binario:

a- Tu edad
b- Tu peso
c- Tu grado
d- El número hermanos que tienes
e- El número de alumnos de tu grado
f- El número de los meses del año
g- El número de los días de la semana
h- El número de las semanas del año

a-Tu edad: 14 años:

14
2


0
7
2


1
3
2


1
1

       Respuesta:   14(10) = 1110(2)

b- Tu peso: 51 Kg.

51
2




1
25
2




1
12
2




0
6
2




0
3
2




1
1

Respuesta: 51(10)= 110011(2)

c- Tu grado: 9º

9
2


1
4
2


0
2
2


0
1

Respuesta: 9(10)= 1001(2)






d- Hermanos: 3

3
2
1
1

Respuesta: 3(10) = 11(2)


e- El número de alumnos: 23

23
2



1
11
2



1
5
2



1
2
2



0
1


Respuesta: 23(10) = 10111(2)

f- Meses del año: 12

12
2


0
6
2


0
3
2


1
1


Respuesta: 12(10) = 1100(2)

g- Días de la semana: 7


7
2

1
3
2

1
1

Respuesta: 7(10) = 111(2)

h- Semanas en un año: 52


52
2




0
26
2




0
13
2




1
6
2




0
3
2




1
1

Respuesta: 52(10) = 110100(2)




2- En una imprenta se imprimen 500 libros por día. Se los guarda en bolsas de 8 libros. Luego se los coloca en cajas de 8 bolsas cada una. ¿Cuantas cajas de 8 bolsas se realizan por día? ¿Quedan libros sueltos? Completa el cuadro y verifica:

500
8

4
62
8
                               
6
7
Cajas
bolsas
Libros sueltos
7
6
4
                


500(10) = 764(8)

Verificación:
                     4 x 80 =  4 x 1 = 4
                     6 x 81 =  6 x 8 = 48
                     7 x 82 =  7 x 64 = 448

4 + 48 +448 = 500

Respuesta: Se realizan por día 7 cajas. Quedan 4 libros sueltos




3- En una plantación  se producen 1000 manzanas. Se las guarda en cajones de 16 manzanas cada uno. Se las carga en una camioneta para llevar al mercado, en esta entran 16 cajones, debe salir siempre llena.¿Cuantos viajes se hacen? ¿Quedan cajones en la plantación? ¿Y manzanas sueltas?
Viajes
Cajones
Manzanas
3
14
8

1000
16

8
62
16

14
3





3E8(16) = 1000(10) 
  
Verificación:
                        8 x 160  =   8 x 1 = 8
                        E x 161 = 14 x 16 = 224
                        3 x 162  =   3 x 256 =  768

8 + 224 + 786 = 1000  

Respuesta: Se hacen 3 viajes, quedan 14 cajones en la plantación y 8 manzanas sueltas.