Aristóteles
Nació en el año 384 a.C. en una pequeña localidad macedonia cercana al monte Athos llamada Estagira, de donde proviene su sobrenombre, el Estagirita. Su padre, Nicómaco, era médico de la corte de Amintas III, padre de Filipo y, por tanto, abuelo de Alejandro Magno. Nicómaco pertenecía a la familia de los Asclepíades, que se reclamaba descendiente del dios fundador de la medicina y cuyo saber se transmitía de generación en generación. Por lo que seguramente Aristóteles fue iniciado de niño en los secretos de la medicina y de allí surge su interés por la investigación experimental y la ciencia positiva.
En el año 367, es decir, cuando contaba diecisiete años de edad, fue enviado a Atenas para estudiar en la Academia de Platón.
Considera la geometría y la aritmética, como las dos ciencias más importantes.
Los objetos matemáticos, para Aristóteles, no eran independientes o ajenos a la experiencia. Eran abstracciones, idealizaciones, de objetos y realidades materiales independientes a la conciencia subjetiva del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. Estos objetos no pueden existir per se, sino en los objetos individuales. Los objetos matemáticos de Aristóteles se pueden apreciar como universales.
Para Aristóteles, las cosas materiales son la primera sustancia de la realidad. El conocimiento se obtiene de la experiencia sensorial por intuición y abstracción. Sin embargo, las ciencias deductivas abstractas son más importantes:
"La ciencia que no tiene un objeto sensible está por encima de la que lo tiene, como, por ejemplo, la aritmética, que es superior a la música. La ciencia que procede de un número menor de elementos es superior a la que necesita adjunciones, y en este concepto la aritmética vale más que la geometría”.
La aplicabilidad de la matemática, la conexión de correspondencia entre las proposiciones matemáticas y la naturaleza, es posible precisamente por ser abstracciones.
Aristóteles señala también la necesidad lógica que existe entre los objetos de la matemática.
"Todo conocimiento racional, ya sea enseñado, ya sea adquirido, se deriva siempre de nociones anteriores. La observación demuestra que esto es cierto respecto de todas las ciencias; porque es el procedimiento de las matemáticas y de todas las demás artes, sin excepción”.
Aristóteles establece un modelo para las ciencias demostrativas o deductivas, que parte de tres postulados: deductividad, evidencia y realidad. El primero es el que establece la axiomática; el segundo, la claridad y evidencia de los axiomas y conceptos primitivos; el tercero, que la ciencia demostrativa en cuestión tiene objetos reales.
Fue el creador de la lógica formal: es la disciplina filosófica que estudia la corrección o validez de los razonamientos. En su lógica, distinguía entre la dialéctica y la analítica. En lógica, Aristóteles desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez). En el razonamiento los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. En el ejemplo más famoso, «Todos los humanos son mortales» y «Todos los griegos son humanos», se llega a la conclusión válida de que «Todos los griegos son mortales». La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento más complejos. Como se ha señalado, en su lógica, Aristóteles distinguía entre la dialéctica y la analítica; para él, la dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa.
La dialéctica analiza las opiniones a partir de su plausibilidad (su grado de aceptación por la comunidad), derivando en el examen de su verdad o falsedad.
La analítica trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa.
Gracias al movimiento geométrico, se han inventado curvas muy hermosas. La más notable es, sin duda, la rueda de Aristóteles llamada cicloide por Galileo o por Descartes, y ruedecilla por Pascal, quien la describía así:
“La ruedecilla es una línea tan común, que después de la recta y la circular, hay pocas tan frecuentes. Se presenta tan a menudo frente a nuestros ojos, que resulta sorprendente que los antiguos(…..) no la hayan estudiado, ya que no es otra cosa que el recorrido que hace en el aire el clavo de una rueda, cuando gira por su movimiento habitual, desde que este empieza a elevarse de la tierra hasta que el giro continuo de la rueda lo hace volver al suelo, una vez concluido el giro, suponiendo que la rueda es un círculo perfecto, y el clavo un punto en su circunferencia, y que la superficie de la tierra es perfectamente plana”.
Aristóteles además afirmó que:
La velocidad de la caída de un cuerpo es proporcional a su peso. El movimiento es común en todas las sustancias del universo aunque de modo diverso. Toda sustancia material esta en un lugar en donde no existe vacío Todas las cosas están constituidas por cuatro elementos fundamentales: fuego, agua, tierra y aire. El peso de un cuerpo está determinado por la proporción que contiene de cada uno de ellos. Por otra parte, el peso determina el estado de movimiento “natural” de las cosas: hacia abajo los más pesados (compuestos principalmente por tierra y agua), hacia arriba los más livianos (cuyos principales componentes son el fuego y el aire). En esta descripción no están incluidos los astros, Planteo que la Tierra era una esfera y no una plataforma. Observó que los eclipses lunares se debían a que la Tierra se situaba entre el Sol y la Luna. Aristóteles estimó que la circunferencia de la Tierra era de 400.000 estadios (medida antigua, con longitud aproximada de 200 metros por estadio), aproximadamente el doble de la longitud real de dicha circunferencia. Creía que el Sol, los planetas y las estrellas giraban en órbitas circulares alrededor de la Tierra, porque estaba convencido de que esta era el centro del Universo y de que el movimiento circular era el más perfecto. Junto con Platón, combatieron a Epicuro y a los atomistas quienes defendían la superioridad del movimiento recto. Estaba convencido de que el movimiento perfecto al que obedece la naturaleza es la rotación. Fue el primero en expresar claramente que cuanto hay sobre la Tierra es atraído hacia su centro, y que la fuerza que hace posible esto se llama gravedad. (428 a. C. – 347 a. C.) Platón, que realmente se llamaba Aristocles Podros, y cuyo seudónimo Platón significa el de la espalda ancha. Fue un filósofo griego, alumno de Sócrates (influido profundamente por las enseñanzas de éste; de hecho, sus primeras ideas y ensayos lucen como adaptaciones de las de Sócrates), y maestro de Aristóteles. De familia nobilísima y de la más alta aristocracia.
Platón es quién determinó gran parte del corpus de creencias centrales tanto del pensamiento occidental como del hombre corriente (aquello que hoy denominamos "sentido común" del hombre occidental) y pruebas de ello son la noción de "Verdad" y la división entre "doxa" (opinión) & "episteme" (ciencia), demostró o creó y popularizó (según la perspectiva desde donde se le analice) una serie de ideas comunes para muchas personas, pero enfrentadas a la línea de gran parte de la filósofos presocráticos y al de los sofistas (muy populares en la antigua Grecia) y que debido a los caminos que tomó la historia de la Metafísica, en diversas versiones y reelaboraciones, se han consolidado. Su influencia como autor y sistematizador ha sido incalculable en toda la historia de la filosofía, de la que se ha dicho con frecuencia que alcanzó identidad como disciplina gracias a sus trabajos.
Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice de matemáticos, debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática de su época. La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, de ahí la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía de Platón.
Empezando por sus obras, entre las más importantes se cuentan los Diálogos y La República (en griego Πολιτεια, politeia, "forma de gobernar - ciudad"), en la cual elabora la filosofía política de un estado ideal; el Fedro, en el que desarrolla una compleja e influyente teoría psicológica; el Timeo, un influyente ensayo de: cosmogonía; cosmología racional; física y escatología (religión), influido por las matemáticas pitagóricas; y el Teeteto, el primer estudio conocido sobre filosofía de la ciencia.
Fue fundador de la Academia de Atenas en 387 a. C. (situada en las afueras de la ciudad, junto al jardín dedicado al héroe Academo, de donde procede el nombre de Academia). La Escuela, una especie de secta de sabios organizada con sus reglamentos, residencia de estudiantes, biblioteca, aulas y seminarios especializados, fue el precedente y modelo de las modernas instituciones universitaria. Buena parte de los estudios y campos de investigación de la Academia tendrían que ver con las cuatro materias del Cuadrivium de Arquitas tal como se presenta en el Libro VII de la República: Aritmética, Geometría, Astronomía y Música, todas ellas disciplinas matemáticas que constituían una propedéutica necesaria a la ciencia suprema de la Dialéctica. Allí estudió Aristóteles, y fue el centro de la actividad matemática de la época y de donde surgieron los principales maestros e investigadores de mediados del siglo IV a. C. Se dice que sobre las puertas de su escuela estaba escrito el lema “No entra aquí nadie que ignore la geometría”, y efectivamente su entusiasmo por esta materia lo llevo a ser conocido no como matemático, sino como “hacedor de matemáticos”. Participó activamente en la enseñanza de la Academia y escribió sobre diversos temas filosóficos, especialmente los que trataban de la política, ética, metafísica y epistemología. De acuerdo con las declaraciones de Proclo, ratificadas por las investigaciones de los historiadores modernos, Platón y los matemáticos de la Academia ampliaron de forma considerable el acervo matemático, clarificaron algunas definiciones, reorganizaron las hipótesis de partida, rehicieron muchas demostraciones, generalizaron numerosos teoremas, resolvieron una gran cantidad de problemas pendientes, escribieron Elementos a base de reordenar el Corpus geométrico de forma sistemática y jerárquica, seleccionando los problemas y teoremas que se toman como elementales (de ahí el nombre de Elementos), y lo más importante: discutieron los Fundamentos de las Matemáticas y se interesaron especialmente por la metodología de la investigación matemática, que se benefició considerablemente del Método de Análisis, llamado Método platónico.
Las obras más famosas de Platón fueron sus diálogos. Si bien varios epigramas y cartas también han perdurado.
La aritmética y la geometría platónicas.
El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas, pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica.
La importancia de Platón en la historia de la matemática deriva en gran parte de su papel como inspirador y director de otros matemáticos, pero quizá a él personalmente se daba la distinción neta y clara en la Antigua Grecia entre aritmética (en el sentido de la teoría de los números) y logística (o técnica de la computación). Platón consideraba a la logística como conveniente para el comerciante o para el hombre de guerra, que “debe aprender el arte de los números o no sabrá como desplegar sus tropas”. El filosofo, en cambio, debe ser una aritmético “porque tiene que conseguir salir del mar del cambio para establecer contacto con el verdadero ser”.
Platón afirma en la República “la aritmética tiene un efecto muy grande y enaltecedor al obligar a la mente a razonar sobre el número abstracto”. Son tan elevados los pensamientos de Platón acerca del número, que alcanzan los dominios de lo místico, y aparentemente de lo fantástico.
Lo mismo que en la aritmética había para Platón un abismo que separaba los aspectos teóricos de los calculísticos, también en la geometría abrazó la causa de la matemática pura frente a las concepciones materialistas del artesano o del técnico. Platón es el responsable de la restricción predominante de las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse con regla y compás únicamente. La razón para esta limitación es probable que haya sido la simetría de estas configuraciones: cualquiera de los infinitos diámetros de un circulo es un eje de simetría de la figura, y cualquier punto de una recta extendida indefinidamente puede considerarse como un centro de simetría de la recta, lo mismo que cualquier recta perpendicular a la recta dada es un centro de simetría de esta recta. La filosofía platónica, con su casi divinización de las ideas, tenía que conceder de manera natural un papel privilegiado a la recta y a la circunferencia entre todas las figuras geométricas. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.
Para Platón los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los inventa o crea. Por ello, la Matemática debe ser independiente de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar liberada intelectualmente de todo instrumento material Platón glorificó también al triángulo, ya que consideraba que las caras de los poliedros regulares no eran simplemente triángulos, cuadrados o pentágonos, sino que, por ejemplo, cada una de las caras del tetraedro estaba formada por 6 triángulos rectángulos más pequeños, que se obtienen al trazar las tres alturas del triángulo equilátero o cara en cuestión, así, pues, el tetraedro regular quedaba descompuesto en 24 triángulos rectángulos escalenos en cada una de los cuales la hipotenusa es el doble que uno de los catetos; el octaedro regular quedaba descompuesto de una manera análoga en 8 x 6 = 48 triángulos del mismo tipo, y el icosaedro en 20 x 6 = 120 triángulos. De la misma manera el hexaedro o cubo estaba constituido por 24 triángulos rectángulos isósceles obtenidos al trazar las diagonales de la seis caras, en cada una se forman cuatro triángulos rectángulos.
Al dodecaedro le había asignado Platón un papel especial como representante del universo, diciendo de una manera críptica que “Dios lo usó para todo”. Platón consideraba al dodecaedro formado por 360 triángulos rectángulos escalenos, que se obtienen al trazar en cada cara pentagonal las cinco diagonales y las cinco medianas, de manera que cada una de las doce caras queda descompuesta en 30 triángulos rectángulos.
La asociación de los cuatro primeros poliedros regulares; el tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo, con los cuatro elementos del universo tradicionales; fuego, aire, agua y tierra respectivamente proporcionó a Platón en el Timeo una bella teoría unificada de la materia según la cuál todo está construido a base de triángulos rectángulos ideales, y la fisiología en su totalidad, así como las ciencias de la materia inerte, están basadas en el funcionamiento de éstos triángulos de acuerdo al Timeo.
Los orígenes del análisis
Platón fue el más influyente en convertir la matemática en una parte esencial del curriculum necesario para la educación del hombre de estado. Platón añadiría a las materias que componían originalmente el cuadrivirium un tema nuevo, la estereometría, ya que creía que no se había puesto énfasis suficiente en la geometría de los sólidos. Platón discutió también los fundamentos de la matemática, clarificó algunas definiciones y reorganizó la hipótesis de partida, subrayando de paso que los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.
Platón consideró al punto como el comienzo de una línea. La definición de una línea como “longitud sin anchura” parece haber tenido su origen en la escuela de Platón, lo mismo que la idea que una línea recta es “la que yace igualmente con respecto a todos sus puntos” y en la aritmética Platón subrayó no sólo la distinción entre números pares e impares, sino también las categorías “par por par”, “impar por par” e “impar por impar”.
En las demostraciones de la matemática deductiva uno comienza con lo que le viene dado, ya sea en general en los axiomas y postulados o de una manera más concreta en los problemas a mano y, procediendo paso a paso, una consigue llegar a la afirmación que se deseaba demostrar. Platón formalizó un procedimiento llamado método analítico o análisis en el que señala que a veces es conveniente desde un punto de vista pedagógico invertir el proceso, sobre todo cuando la cadena de razonamiento de las premisas a la conclusión no es un principio natural y obvio. Uno podría comenzar por la proposición que hay que demostrar y deducir de ella una conclusión que se sabe se verifica. Si podemos entonces invertir las etapas de esta cadena de razonamiento, el resultado será una legítima demostración de la proposición dada.
Relación entre Platón y Aristóteles
Para Platón, las matemáticas formaban parte del mundo inteligible; esto es, la ciencia, la filosofía exigía un trabajo deductivo de conceptos que recogieran lo universal de las Ideas.
Aristóteles en cambio no consideraba que hubiese un mundo eidético aparte del mundo sensible y que fuese la esencia de éste. De ahí que las matemáticas, al contrario de los pitagóricos y de Platón, no contribuían en la sustentación de la existencia del mundo.
Aristóteles distinguía entre la dialéctica y la analítica, esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía.
Aristóteles se separó de la visión de su maestro Platón; más que matemáticas creía en las cosas materiales como la fuente de la realidad. El conocimiento se generaba a través de la abstracción y la intuición. Sin embargo, Aristóteles también ponía énfasis en la existencia de primeros principios y la organización deductiva.
Los objetos matemáticos, para Aristóteles, no eran independientes o ajenos a la experiencia como en Platón. Eran abstracciones, idealizaciones, de objetos y realidades materiales independientes a la conciencia subjetiva del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. Los objetos matemáticos de Aristóteles se pueden apreciar como universales.
Existe un sentido de realidad diferente en las proposiciones matemáticas en Platón y Aristóteles; sin embargo, en ambos las matemáticas se refieren al ser, a una realidad; por tanto, sus proposiciones son verdaderas o falsas. Y, además, Aristóteles seguía afirmando la existencia de entes independientes aunque ejemplificados en las cosas materiales
"La idea de que las formas son sustancias que existen independientemente de la materia en la que son ejemplificadas, parece poner al descubierto a Aristóteles contra sus propios argumentos, contra las ideas platónicas. Él cree que una forma es algo muy distinto de un universal, pero tiene muchas de las mismas características. La forma es más real que la materia; esto es una reminiscencia de la única realidad de las ideas. El cambio que Aristóteles hace en la metafísica de Platón es menor de lo que él cree''.
En Platón y Aristóteles, aunque no de la misma forma, el acento en lo deductivo y lo verdadero, son partes de su interpretación de la ciencia y la matemática. El esquema axiomático que establece Aristóteles va a sintetizar una aproximación metodológica que manifiestan las obras de los principales matemáticos y científicos griegos. Y va ser aceptado como un requisito teórico.
Bibliografia:
Enciclopedia Larrouse- Matemática e Informática- Tomo X
Clarin- Ciencia Aplicada
Clarin- Historia Universal- Alejandro y el Mundo Griego (Tomo IV)
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