Hejemonía Árabe

Las Conquistas Árabes

La península arábiga se encontraba sumida en una profunda crisis; Arabia estaba habitada en su mayor parte por nómades del desierto, conocidos con el nombre de beduinos (no sabían leer ni escribir); en este marco sociopolítico surgió el profeta Mahoma (nació en la Meca hacia el 570), que durante 10 años predicó y enseñó su doctrina en la Meca. Viendo su vida amenazada por un complot, acepta trasladarse a Yatrib (Medina), esta huida fue conocida como la hégira y señala el comienzo de la Era Mahometana; la cual ejerció durante siglos una poderosa influencia en el desarrollo de la matemática. Así Mahoma se convirtió en un líder militar y a la vez religioso.

Hacia el año 632, Mahoma planeaba atacar el Imperio Bizantino y muere en Medina (Yatrib); su muerte no impidió la expansión del Estado islámico apenas fundado, ya que sus seguidores invadieron los territorios fronterizos. Aunque en pocos años cayeron en poder de los conquistadores Damasco, Jerusalén y la mayor parte del valle mesopotámico. En el 641 fue capturada Alejandría, que había sido durante casi mil años el centro matemático del mundo.

Durante el primer siglo de las conquistas árabes se produjo un ambiente de considerable confusión política e intelectual y probablemente esto fue la causa de las dificultades con que nos encontramos para localizar los orígenes del sistema de numeración decimal moderno. Al parecer los árabes no manifestaron en un principio ningún interés intelectual y contaban con un escaso bagaje cultural. Sabemos que hacia el 766 o antes llegó a Bagdad procedente de la India una obra astronómico-matemática, que los árabes conocieron con el nombre de Sindhind (se supone que esta obra era el Brahmasphuta Siddhanta, pero también puede haberse tratado del Surya Siddhanta), años más tardes se tradujo al árabe  y poco después se tradujo del griego al árabe el Tetrabiblos (tratado astrológico de Ptolomeo). Estas obras despertaron el interés intelectual de los conquistadores árabes; los cuales asimilaron la cultura de sus vecinos.

La “Casa de la Sabiduría”

Al-Mamun fue quién fundó en Bagdad la “Casa de la Sabiduría” (Bait Al-Hikma), comparable al Museo de Alejandría. Entre los miembros de esta especie de universidad se encontraba Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi, matemático y astrónomo, escribió más de media docena de obras astronómicas y matemáticas; las primeras basadas probablemente en el Sindhind (recibido de la India). Además de tablas astronómicas y  tratados sobre el astrolabio y el reloj de sol, escribió dos libros sobre aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la historia de la matemática. El primero de ellos nos ha llegado a través de una copia única, de traducción latina con el título de “De numero indorum”(sobre el arte de calcular hindú), de la cual el original árabe se perdió. En esta obra, que estaba basada en una traducción árabe de Brahmagupta, daba Al-Khowarizmi una exposición tan completa del sistema de numeración hindú, que es él probablemente el responsable de la extendida, aunque falsa expresión  de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe. Al-Khowarizmi no formula ninguna reclamación de originalidad con respecto al sistema en cuestión dando por descontado su origen hindú, al aparecer en Europa las traducciones latinas de esta obra, los lectores que carecían de información al respecto, atribuyeron al autor no solo la obra, sino también el sistema de numeración expuesto en ella, así el sistema de notación se conoció como “el de Al-Khowarizmi”, y a través de las deformaciones como “algorismi”. Este sistema de numeración que hace uso de los numerales hindúes vino a ser denominado como “algorismo” ó “algoritmo”.

Al-Jabr

A través de esta obra Al-Khowarizmi nos ha transmitido otro término popular, puesto que de este título en árabe se ha derivado la palabra “álgebra”; además se debe tener en cuenta que fue de este libro del que aprendió Europa la rama de la matemática que lleva su nombre.

        

Se le llama a Diofanto “el padre del álgebra”, aunque este título se le aplicaría mejor a Al-Khowarizmi. Si bien es verdad que al menos en dos aspectos la obra de Al-Khowarizmi representa un retroceso respecto a la de Diofanto: en primer lugar es de un nivel mucho más elemental que el que nos encontramos en los problemas de Diofanto, y el segundo lugar, el álgebra de Al-Khowarizmi es completamente retórica, sin ninguna de las sicopasiones que encontramos en la aritmética de Diofanto; viene a estar, por otro lado, más próxima al álgebra elemental moderna que las obras de Diofanto o de Brahmagupta, ya que este libro no trata de difíciles problemas de análisis indeterminado, sino de la exposición directa y elemental de la resolución de ecuaciones. A los árabes en general les gustaba extraordinariamente poder seguir una argumentación lógica correcta y clara de las premisas a la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos ambos en los que ni Diofanto ni los hindúes brillaban. Los hindúes tenían muy desarrollada una capacidad de asociación  y analogía de intuición y de instinto estético unidos a una imaginación natural; mientras que los árabes tenían una mentalidad más práctica y más a ras de tierra en su enfoque de la matemática.

Las Ecuaciones Cuadráticas

La traducción latina del Algebra de Al-Khowarizmi comienza con una breve introducción acerca del principio de notación posicional para los números, y a continuación se expone la solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar simultáneamente en presencia los tres tipos posibles de cantidades: cuadrados, raíces y números (es decir, x², x y números). Comienza con el caso de los cuadrados igual a raíces, continúa con los cuadrados igual a números y resuelve este caso. Luego se ocupa de la resolución de los tres casos clásicos que presentan las ecuaciones cuadráticas completas:

§  Cuadrados y raíces igual a números

§  Cuadrados y números igual a raíces

§  Raíces y números igual a cuadrados

Sus soluciones consisten en “recetas” para “completar el cuadrado”.

El Álgebra de Al- Khowarizmi revela en su contenido elementos griegos inconfundibles, pero, sin embargo la primera parte puramente aritmética del Álgebra es completamente ajena al  pensamiento griego. Los sabios árabes mostraron gran admiración por la astronomía, la matemática, la medicina y las filosofías griegas, temas todos ellos en los que profundizaron llegándolos a dominar lo mejor que pudieron. Lo más seguro es que su sistema de numeración provenga de la India, su solución algebraica sistemática de las ecuaciones de segundo  grado puede haber sido un desarrollo procedente de la Mesopotamia, y el marco geométrico y lógico con el que justifica sus soluciones tienen su origen evidente en Grecia.

La Cosa

Durante la hegemonía árabe, Al-khowarizmi, trató un problema planteado inicialmente por Herón, lo que evidencia con toda claridad su dependencia de la corriente matemática que proviene de los babilónicos, el cual consiste en inscribir un cuadrado en un triángulo isósceles de base 12 unidades y lados iguales de 10 unidades.

El autor del álgebra calcula primero, con la ayuda del teorema de Pitágoras, la altura del triángulo, que es de 8 unidades, con lo cual se obtiene que el área del triángulo es de 48 unidades. Llamando al lado del cuadrado la "cosa", se observa que se obtendrá el cuadrado de la "cosa" restándole al triángulo grande las áreas de los triángulos pequeños que están fuera del cuadrado. La suma de las áreas de los dos triángulos inferiores es, evidentemente, el producto de la "cosa" por seis menos la mitad de la "cosa" por la "cosa" y el área del triángulo superior es el producto de ocho menos la "cosa" por la mitad de la "cosa", de ello se deriva que la "cosa" o lado del cuadrado es de  44 / 5.

Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:

• obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia.
• cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini.
• extracción aproximada de raíces.
• suma de progresiones aritméticas y geométricas.

Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A éstas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...

Además de la separación del álgebra, el rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica.

Los árabes rechazaban las raíces negativas, y en general todo tipo de magnitudes absolutas negativas, sin embargo estaban familiarizados con las reglas que rigen las operaciones con números enteros positivos y negativos.

Había tres tipos de aritmética:

1.   Aritmética de reconocimiento con dedos.

Este sistema procedía del 'contar con los dedos' y sus numerales estaban escritos en letras; este tipo de aritmética era el empleado por la comunidad de los negocios.

2.   Sistema sexagesimal

El segundo de los tres sistemas era el sexagesimal, con numerales indicados por letras del alfabeto árabe. Era originario de los babilonios y fue utilizado principalmente por los matemáticos árabes para sus trabajos astronómicos.

3.   Sistema numeral indio

El tercer sistema era la aritmética de los numerales indios y fracciones con el sistema de

colocación de valores decimales. Los números empleados procedían de la India aunque no eran un conjunto estándar. Distintas partes del mundo árabe utilizaba ligeras diferencias en los números. Al principio los métodos indios eran usados por los árabes en una pizarra de polvo. Se necesitaba una pizarra de polvo porque los métodos requerían escribir y borrar números a medida que las operaciones de cálculo iban teniendo lugar. Una pizarra de polvo permitía hacer esto al igual que hoy en día usamos una pizarra, tiza y un borrador. Sin embargo, al-Uqlidisi (nacido en 920) demostró cómo modificar el método para poder usar lápiz y papel. Al-Baghdadi también contribuyó a mejorar el sistema decimal.

 Abd Al-Hamid Ibn-Turk

Se suele admitir que el algebra de Al-Khowarizmi es cronológicamente la primera obra árabe sobre el tema, pero recientemente se ha publicado en Turquía un libro que plantea algunas dudas sobre esto. Se ha encontrado el manuscrito de una obra escrita por Abd Hamid Ibn-Turk titulada “sobre las necesidades lógicas de las ecuaciones mixtas”, que debía formar parte de un libro sobre Al-jabr wa’l muqābalah, evidentemente muy parecido al de Al-Khowarizmi y publicado más o menos por la misma época, posiblemente incluso antes.

Los Numerales Árabes

Dentro de los extensos confines del Imperio Árabe vivían pueblos de orígenes étnicos muy variados: aparte de los árabes puros había sirios, griegos, egipcios, persas, turcos, beréberes, andalusíes y muchos otros. Estas diferencias culturales se manifestaron ocasionalmente de una manera muy clara en la matemática árabe, tal como ocurre en las obras de los matemáticos de los siglos X y XI, como Abu’l-Wefa y Al-Karkhi. En algunas de sus obras ambos utilizaron los numerales hindúes que habían llegado a Arabia junto con la obra astronómica de Sindhind, mientras que otras veces adoptaron el sistema de numeración griego alfabético. Finalmente los numerales hindúes, muy superiores ganaron la partida, pero incluso en el círculo de los que usaban la numeración india, la forma de los numerales difería considerablemente.

El sistema de numeración árabe provenía, casi con total seguridad, de la India, y por lo tanto sería más correcto llamar a nuestro propio sistema, Sistema Hindú o Hindú-Árabe.

La Trigonometría Árabe

Existían dos tipos de trigonometría: una de la geometría de las cuerdas griega, tal como se encuentra en el Almagesto, y la otra, utilizada por la mayor parte de la trigonometría árabe, basada en las tablas de senos hindúes, tales como las que aparecen en el Sindhind. De hecho, además, fue a través de los árabes y no directamente de los hindúes como pasó a Europa la trigonometría del seno.

Con Abu’l-Wefa la trigonometría adopta una forma más sistemática, en la que se demuestran ya teoremas como las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad, se le suele atribuir a Abu’l-Wefa el teorema de los triángulos esféricos, debido a su formulación clara y precisa. También construyó una nueva tabla de senos de ángulos de cuarto en cuarto de grado con ocho cifras decimales, una tabla de tangentes, e hizo uso en sus cálculos de las seis funciones trigonométricas usuales junto con diversas relaciones entre ellas.

En la India y también en Arabia se utilizaba una teoría general de longitudes de sombras con respecto a una unidad determinada de longitud o gnomon, para alturas variables del sol sobre el horizonte. Entonces la sombra horizontal proyectada por el gnomon vertical de longitud fija era lo que nosotros llamamos la cotangente del ángulo de la elevación del sol sobre el horizonte. La “sobra invertida”, es decir la sombra proyectada sobre una pared vertical por una varilla o gnomon de longitud unidad fijado perpendicularmente a la pared sería en cambio lo que nosotros llamamos la tangente del ángulo de elevación del sol. La “hipotenusa de la sombra”, es decir, la distancia del extremo del gnomon vertical unidad al extremo de su sombra era lo equivalente a nuestra función cosecante, y la “hipotenusa de la sombra invertida” jugaba el mismo papel que nuestra secante.

Abu’l-Wefa y Al-Karkhi

Abu’l-Wefa  no sólo se ocupó de la trigonometría, sino también del algebra escribiendo un comentario sobre el Algebra de Al-Khowarizmi y, sobre todo, traduciendo del griego uno de los últimos grandes clásicos, la Arithmetica de Diofanto.

Se le atribuye a Al-Karkhi la primera resolución numérica de ecuaciones de la forma  (considerando solamente las raíces positivas).

Al Biruni y Alhazen

Otro matemático importante fue Al-Biruni. (973-1048) y Alhacen,  que también era matemático, fue famoso por sus estudios sobre óptica. Estudio las lentes y escribió Tesoro de la Óptica  sobre la reflexión y refracción de la luz.

ANEXOS

Quienquiera que piense que el álgebra es un sistema de trucos

para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente.

Los hechos del álgebra son hechos geométricos

que están demostrados.

Omar Khayyam

Mientras el espíritu de la matemática languidece en Occidente, los árabes son los responsables de rescatar del olvido no sólo la matemática griega, sino la desarrollada en China, India y la Mesopotamia. En esta época Bagdad se convierte en una nueva Alejandría.

La matemática árabe puede clasificarse de manera natural en cuatro ramas:

Una aritmética proveniente de la India, basada en el principio posicional.

Un álgebra de origen griego y babilónico, pero que adopta una forma nueva y sistemática.

Una trigonometría griega a la que los árabes amplían y dan forma.

Una geometría, también de origen griego, a la que enriquecen con diversas generalizaciones y estudios críticos.

Hacia el siglo XI la cultura árabe, que desde el siglo VIII había sido la más libre y fecunda, empieza a mostrar signos de decadencia, mientras que al mismo tiempo asoma un despertar en el mundo cristiano.

Momentos Significativos

628 Brahmagupta

Consolidación del sistema decimal.

825 Al-Kowarizmi

Al-jabr

Resolución sistemática de ecuaciones cuadráticas.

Origen de la palabra “algoritmo”.

870 Thabit Ibn-Qurra

Traducción al árabe de las obras de los matemáticos griegos.

1037 Avicena

Nexo entre el saber griego y el islámico.

1100 Omar Khayyam

Ecuaciones cúbicas.

1140 Abraham Ibn Ezra

Teoría de números.

1150 Bhaskara

Ecuación de Pell.