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Corrientes Didácticas Contemporáneas

2010-12-09T15:28:00.000-03:00

Aportes para la Lectura y Análisis del Texto:

“Corrientes Didácticas Contemporáneas”

Capítulo I: “de herencias, deudas y legados. Una introducción a las corrientes actuales de la didáctica”(Alicia W. de Camilloni).

Capítulo II: “conflictos en la evolución de la Didáctica. La demarcación de la Didáctica General y las Didácticas Especiales”(María Cristina Davini).

Propuesta de Trabajo

Capítulo I

· Conformación de la Didáctica como Disciplina:

Al tratar de visualizar el campo de la Didáctica de Modo Integral (Didáctica General), se reconocen aportes de autores de otras áreas disciplinarias.

o Identifica y explica los dos aportes que menciona la autora Alicia De Camilloni.

Aporte 1, Jerome Bruner: Psicólogo convertido en humanista interesado por la educación. A partir de su formación como Psicólogo se convierte en un teórico de la instrucción, interesado por la enseñanza y otras cuestiones relacionadas con la epistemología, las teorías del desarrollo en general, la filosofía y la lingüística.

Aporte 2, Joseph Schwab: Su origen disciplinario era la biología. Fue convocado al igual que Bruner para proyectar diseños curriculares destinados a replantear la enseñanza de los dominios de sus especialidades del ámbito académico. Reconocido como un destacado teórico del currículum por sus importantes aportes al análisis del problema y sus propuestas de reconceptualización.

o Relación de la Didáctica con la Psicología (Conductismo – Cognitivismo como sustento de la Didáctica)

Esta relación parece generar una deuda imposible de saldar. La Didáctica comienza a convertirse en una Disciplina Científica en el momento en el que la Psicología se reconoce como Disciplina Científica, debido a que la Didáctica se apoya en ella. Es así cómo hereda distintos enfoques, teorías o programas de investigación de la Psicología.

La Didáctica extrae dos posturas de la Psicología:

v Conductismo: programa de Investigación Científica.

v Cognitivismo: programa más amplio o contenedor que proporciona nuevas bases que sustentan a la Didáctica.

Ambas posturas son opuestas.

· Problemas planteados ante el abordaje del campo de la Didáctica desde una mirada específica de la enseñanza de una determinada disciplina.

o Analiza la corriente de la Ingeniería Didáctica en el área de la Matemática y su relación con la Didáctica General.

Un problema se plantea cuando la corriente se origina en autores que parten de los problemas específicos de la enseñanza de su disciplina y lo trasladan a otras disciplinas.

En la corriente de la Ingeniería Didáctica, los matemáticos generan teorías que nacen en una Disciplina Científica (Didáctica Especial) e intentan o logran ocupar el campote la enseñanza en general (Didáctica General), lo cual podría conducirnos a reflexionar acerca de los riesgos y beneficios que este proceso implica para una Didáctica General.

· Conclusión:

o Cuando hablamos del estado actual de la Didáctica nos encontramos con un panorama complejo: ¿por qué? Fundamenta la idea anterior.

Por un lado personifican las corrientes con algunos autores. Por otro se pueden categorizar en relación con los distintos programas de Investigación Científica (muchos no originados dentro de la Didáctica, sino que aparecen en otras disciplinas). Por último, la divergencia entre teorías Científicas produce y genera nuevas corrientes nacidas desde una Didáctica Especial que pretenden, intentan o logran ocupar el campo de la Didáctica General.

· Influencia de la Escuela Crítica sobre la Didáctica:

o La Didáctica tiene como objeto comprender y operar desde los sujetos y desde las prácticas particulares.

Desde el lugar de la Investigación Cuantitativa se ha procurado interpretar los procesos que caracterizan la vida del aula, reconstruyendo los significados de los individuos, que ni se observan directamente ni pueden cuantificarse.

o Los problemas de enseñanza son situaciones, las soluciones se dan desde un enfoque contextualizado.

Para ello impulsan la investigación como componente del desarrollo del currículum y la participación directa de los docentes en el proceso. Destacan la importancia de apoyar el pensamiento del profesor para tal desarrollo desde el lenguaje de la práctica.

· Más relevante que determinar reglas de actuación (Base Normativa de la Didáctica), es favorecer el desarrollo reflexivo y crítico de los docentes, para comprender y operar en la enseñanza.

o Riesgos de la postura anterior: (reducir el análisis a datos del contexto particular).

Propone sostener la reflexión y la comprensión de la totalidad en lo particular, dentro del proceso de formación docente, para fortalecer su juicio y su papel de intelectuales en la organización de la cultura.

Se apoya en la ausencia de criterios básicos de acción propuestas por la Didáctica (que permiten operar casos concretos y realizar acciones críticas en la escuela), lo que conduce el problema a límites peligrosos.

o Propuesta superadora del riesgo anterior: (plantear una nueva Didáctica con una base normativa que represente un mínimo acuerdo válido para ser utilizado en el análisis de situaciones particulares).

Conocimientos públicos que puedan ser compartidos y utilizados por distintas personas y no sea sólo patrimonio de la institución infalible del sujeto que investiga o que enseña. Así contribuiríamos a la transformación de las relaciones socioculturales en la escuela y en la enseñanza, en la práctica concreta y no sólo en los principios teóricos.

· Evolución actual en la Producción Didáctica:

o Construcción de megateorías en la Didáctica General, sin considerar las reglas de acción.

Están comprometidas con un discurso interpretativo que pretende reunir el abanico de Producciones Científicas en un marco global comprensivo.

o Elaboración de teorías Diafragmáticas en las Didácticas Especiales (se limitan al estudio de una disciplina, Chevallard en Matemática).

Éstas se focalizan en una o dos dimensiones, reducen el proceso de enseñanza a una tarea formativa en las distintas materias y se constituyen como teorías autonomizadas y fragmentarias.

· La situación actual de la Didáctica:

o Punto de partida, hipótesis: (el campo de la Didáctica es reconocido y remarcado por los didactas, pero es un campo difícilmente reconocido por otras disciplinas)

¿Cuál es la situación actual de la didáctica con respecto a su identidad?

Hoy es una disciplina en busca de su identidad, a pesar de sus múltiples intentos por consolidar límites entre las disciplinas de las Ciencias Sociales. Las fronteras se orientan a confundirse entre ellas y desaparecer. No es momento de buscar su identidad, sino tal vez de establecer vínculos con otras disciplinas. El enfoque de mayor valor constructivo de su identidad resultará del estilo de construcción, tipo de enunciado y el uso de los aportes de otras ciencias que se ocupan de objetos sociales sólidos y consistentes (a su vez son compartidos por varias ciencias).

La Didáctica se ocupa de algunos problemas que son objetos propios y exclusivos de ella, en los cuales se está realizando un trabajo sobre los que pueden denominarse temas-objeto. Nuestra disciplina es una teoría de la enseñanza heredera y deudora de muchas otras disciplinas. Se está constituyendo con un objeto polisémico, pero que constituye un objeto sólido de conocimiento y acción (el proceso de enseñanza-aprendizaje, como objeto de conocimiento de la didáctica y como propósito de la acción educativa).

Capítulo II

· Temática: definición del ámbito de la Didáctica General y de las Didácticas Especiales en el debate actual en la línea de desarrollo de la Didáctica.

o Tendencia actual a definir las Didácticas Especiales sin relación con el marco de la Didáctica General.

Por un lado, los especialistas de distintas disciplinas reconceptualizaron la Didáctica alrededor de los contenidos de la enseñanza. Definen Didácticas Especiales como ampos específicos de las respectivas ciencias y cuestionan la existencia de la Didáctica General.

Los didactas generalistas realizan frecuentes análisis sobre la delimitación epistemológica de la Didáctica como campo de conocimiento. Hay muchos puntos de controversias, es allí donde se observan tendencias a conformarse como un conjunto de teorías de distintos orígenes.

La disputa en la Didáctica es entre diversas disciplinas que pretenden explicar y otras actuar sobre la enseñanza, para ello tendrían que trabajar en forma interdisciplinaria. Sin embargo, la interdisciplinariedad en las Ciencias Sociales y Humanas está lejos de ser una actividad consolidada.

o Surgimiento Histórico de la Didáctica como espacio de Concreción Normativa.

Surge dentro de una concepción conflictiva y hasta ingenua de sociedad y sujeto. Desde su matriz (Didáctica Magna 1657 - Comenio). La Disciplina se constituye en el ámbito de organización de las reglas de método para hacer que la enseñanza sea eficaz (basada en el Empirismo de Bacon y el Realismo de Ratke). Enfoca el disciplinamiento de la conducta basándose en las premisas de armonía con la Naturaleza.

En el siglo XIX apunta al desarrollo de los pasos formales de la enseñanza, enfatizando el proceso de instrucción como transmisión del saber. Así se conforma la producción del discurso de al Didáctica: * la búsqueda de utopías pedagógicas

* la concreción de reglas de acción para la enseñanza conforme a pasos y medios determinados

* el desarrollo de sistemas educativos modernos y el optimismo pedagógico con respecto a la construcción de una sociedad justa y humana como responsabilidad de los estados

o Cambios producidos por la influencia de la Escuela Nueva (s. XX). En Didáctica deja de investigarse desde un modelo positivista.

Cambios: la expansión de la escolaridad pública, el liberalismo político y los paulatinos avances del conocimiento de la psicología del desarrollo, facilitan la creación de experiencias en el campo de la Didáctica.

Aparecen las especializaciones de las propuestas Didácticas formadas según las etapas evolutivas del alumno (marcadas por la psicología). Aquí se desplaza el disciplinamiento y la instrucción hacia el desarrollo del sujeto del aprendizaje (siglo del Niño).

La aparición de Didácticas Especiales para distintos niveles o ciclos de la enseñanza produce un desplazamiento del sujeto de la enseñanza hacia la organización del sistema escolar. Así se debilita la demarcación epistemológica de las especializaciones.

o La Base Normativa de la Didáctica (Normatividad) como “bisagra” para cambios en su objeto de estudio (Bisagra entre la teoría y la acción).

La Normatividad funciona como bisagra de los postulados de las utopías pedagógicas y las prácticas educativas. Integraba componentes básicos de la Ciencia de la Educación:

v La explicación (producto de la Ciencia de la época)

v La norma (como los postulados en la acción)

v La utopía (como motor o brújula orientadora del cambio)

Un punto de distorsión de esta armonía se encuentra en la expansión del enfoque tecnicista de la enseñanza. A partir de la post guerra y de la expansión del Industrialismo, la hegemonía en la Didáctica desliga el criterio normativo del debate ideológico.

La Didáctica se desarrolla como la expansión de la tecnocracia basada en una epistemología ingenua que renuncia a la construcción teórica propia de una sociología espontánea.

Las propuestas Didácticas significaron el refuerzo de la certeza metódica, basada en el objetivismo, la neutralidad política y la eliminación simbólica del sujeto y de los hechos de conciencia.

Sus desarrollos se basaron en las conclusiones de la epistemología conductista y en la expansión de la Planificación Científica (confunde realidad con estadísticas).

· La Didáctica se aleja del enfoque Tecnicista (la Didáctica se plantea como el conjunto de Técnicas, sin analizar el “¿qué?” y el “¿para qué?” de la Enseñanza), que le resta Status Científico.

o Las Didácticas Especiales (por Disciplina) imponen el dominio y autonominación en la producción y la intervención en la práctica escolar.

Analiza las propuestas presentadas por las Didácticas Especiales, que presentan un Carácter General y son aplicables al campo de la Didáctica General.

Se puede plantear que estas propuestas Didácticas no representarían producciones correspondientes a Disciplinas Específicas o autonomizadas. Las ideas centrales pueden intercambiarse entre las diferentes áreas sin perder su potencialidad. Con ello estarían resultando producciones significativas generalizables.

Representan productos de un diálogo entre especialistas de distintos campos y los aportes de corrientes actuales de la Psicología Cognitiva (Piaget, Inhelder, Bruner, Vigotsky, Ausubel y otros) y del aprendizaje.

La hegemonía del discurso de la psicología sigue presente, sólo que articulada al aprendizaje de un campo determinado de conocimientos.

· Conclusión:

o La Didáctica General y sus especializaciones (Didácticas Especiales) están relacionadas y unidas.

Hoy es ya un acuerdo que los espacios de especialización requieran la participación de los expertos en el contenido disciplinario, dejando a un lado la pretensión Tecnicista de plantear a la Didáctica como un repertorio de técnicas independientes.

Sin embargo, esto no implica que la Didáctica General desaparezca como disciplina, por el contrario llevaría a pensar en las Especializaciones como desarrollos didácticos en los distintos campos disciplinarios, más que en disciplinas autonomizadas.

Algo más: la enseñanza plantea desafíos que requieren propuestas que solo pueden elaborarse dentro de la Didáctica General. Esto quiere decir, que no se resuelve desde ninguna Especialización ni desde la Psicología.

Sistemas de Numeración

2010-12-09T15:26:00.001-03:00

¿Qué es un Sistema de Numeración?

Un Sistema de numeración es aquel formado por símbolos y reglas que permiten combinar esos símbolos. Estas reglas permiten establecer operaciones y relaciones entre dichos símbolos. A lo largo de la historia, el hombre, ha empleado Sistemas de Numeración; por ejemplo el Romano, el Egipcio, el Babilonio, etc.

Un Sistema de Numeración puede representarse como N=S+R donde:

· N es el sistema de numeración considerado.

· S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son 0,1...9; en el binario son 0,1; en el octal son 0,1...7; en el hexadecimal son 0,1...9, A,B,C,D,E,F.

· R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles no-válidos en el sistema.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se puede utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeración utilizado se añade como subíndice al número)

Ejemplos:

ü El número 125₍₁₀₎es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A₍₁₀₎ no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.

ü El número 35₍₈₎ es un número válido en el sistema octal, pero el número 39₍₈₎ no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.

Historia

Aunque se carece de información fidedigna acerca de la forma como el hombre primitivo empezó a valerse de un sistema numérico, tuvo muchas razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún método de conteo, ya fuera para saber cuántas cabezas de ganado u ovejas poseía; como también para conocer el número de armas que tenía, o para cuantificar la extensión de los terrenos sembrados o conquistados.

También cuando éste se dedicó a la agricultura, tuvo que idear un sistema para medir le tiempo en las épocas de siembra y cosecha., finalmente en su etapa de comerciante, necesito crear un sistema para fijar el peso, volumen y el valor de sus productos para intercambiarlos con los pueblos vecinos.

Sistemas de numeración posicional y no posicional

Sistema posicional

§ Tienen orden. El valor de las unidades depende del lugar en que se encuentren. Poseen valor relativo.

§ Poseen 0 para indicar ausencia de unidades de un orden.

§ Gran agilidad para la resolución de operaciones

§ Son sistemas de numeración posicional el decimal, el indo-arábigo

Sistema no posicional

§ No existe el valor relativo. Siempre es absoluto.

§ Son de agrupación simple.

§ No usan 0.

§ Son aditivos.

§ Gran dificultad para la resolución de problemas.

§ Son sistemas de numeración no posicional el egipcio, el griego, el romano.

b. Sistemas de numeración en la historia: egipcios, babilonios, romanos, hindúes, etc. Características y generalidades de cada uno.

Sistema de Numeración Egipcio

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos órdenes de unidades.

Se usaban tanto de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba hacia abajo cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribía a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc) cuyo número indicaban.

Sistema de Numeración Babilónico

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. Los babilonios fueron los primeros en contribuir al desarrollo de las matemáticas.

Los babilonios tenían un método de contar un poco complicado, su sistema numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas. Su aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y el 60, teniendo en cuenta el posicionamiento de estos caracteres así mismo se leían e interpretaba.

El símbolo q puede representar sesenta o uno, dependiendo de la posición en que se encuentre, al inicio o al final de un número a expresar, girando 90° a la derecha su valor cambia a 10. La representación de una resta era precedida por los caracteres qu, las cifras se escribían de derecha a izquierda, y se descifraban de la misma manera.

Sistema de Numeración Romano

El sistema de numeración romana se desarrollo en la antigua Roma y se utilizó en todo su imperio.

Este sistema es un sistema de numeración no-posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. No utiliza el principio de valor relativo, es decir, el valor de los símbolos siempre es el mismo sin que influya el lugar que ocupan.

A continuación se muestran los símbolos válidos en el sistema de numeración romana, y sus equivalencias decimales.

Romano	Decimal	Nota
I	1
V	5	V es la mitad superior de X; en etrusco L
X	10
L	50
C	100	Letra inicial de Centum.
D	500	D, es la mitad de la Digamma f (como phi)
M	1000	De Mille. Originalmente era la letra Digamma.

Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero.

Reglas de generación

Las reglas para construir los números romanos usando los símbolos permitidos son complejas. En el sistema de numeración romano los símbolos (letras) se clasifican en tipo 1 (I, X, C y M) y tipo 5 (V, L y D).

Ø Como regla general, los símbolos se escriben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor.

Ø El valor de un número se obtiene sumando los valores de los símbolos que lo componen, salvo en la siguiente excepción.

Ø Si un símbolo de tipo 1 está a la izquierda de otro de mayor valor, se resta al valor del segundo el valor del primero. Ej. IV = 4, IX = 9.

Ø Los símbolos de tipo5 siempre suman y no pueden estar a la izquierda de uno de mayor valor.

Ø Se permiten a lo sumo tres repeticiones consecutivas del mismo símbolo de tipo 1.

Ø Si un símbolo de tipo1 aparece restando, sólo puede aparecer a su derecha un símbolo de mayor valor. En este caso no se debe repetir el símbolo que resta, salvo las excepciones que se indican en las reglas siguientes.

Ø Sólo se admite la resta de un símbolo de tipo1 sobre el inmediato mayor de tipo 1 o de tipo 5. En este caso está permitida la repetición del mismo símbolo sumando y restando. Ejemplos:

§ El símbolo I sólo puede restar a V y a X.

§ El símbolo X sólo resta a L y a C.

§ El símbolo C sólo resta a D y a M.

Ø No se permiten dos símbolos consecutivos restando. Para evitarlo esta permitido repetir un símbolo sumando y restando.

Ø Se permiten dos símbolos que aparezcan restando si no son consecutivos.

Ø No se permite la repetición de una misma letra de tipo 5, su duplicado es una letra de tipo 1.

Ø Un guión encima de un símbolo multiplica el valor del símbolo por 1000. Este método permitía escribir cantidades elevadas. Ejemplo:

C = 100 x 1000 = 100.000

M = 1000 x 1000 = 1.000.000

No siempre se representan estas reglas. En algunas inscripciones o en relojes, aparece IIII en lugar de IV para indicar el valor 4.

Sistema de Numeración Hindú

Los Hindúes desarrollaron por el año 570A.C. un práctico sistema de notación numérico al utilizar el principio posicional de las cifras en sus operaciones matemáticas, empezaron con mejorar el sistema griego; y el hebreo usando las nueve cifras para las decenas, centenas y millares. De esas nueve cifras derivaron todos los números; todo lo que se necesito fue dar a las cifras su valor de posición. La gran innovación fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco, llamado por los árabes como “sirf” que significa vacío; llego hasta nosotros como una “cifra” ó cero.

La importancia de este método incide en que la posición del dígito o cifra numérica es significativa. Mediante este sistema es posible escribir cualquier número usando tan solo diez (10) dígitos, o sea, es un sistema de numeración de base diez o decimal; el cual se convirtió en el sistema que utilizamos actualmente.

c. Sistema decimal: características, origen

Leonardo de Pisa fue uno de los primeros en introducir este nuevo sistema de numeración en Europa hacia el siglo VIII d. c. (fig. abajo). Los símbolos se representan en un manuscrito español fechado en 976 d.c., donde parecen las nuevas cifras numéricas, introducidas por los matemáticos árabes, quienes los tomaron de los hindúes.

Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes:

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

A éstos símbolos básicos indo-arábicos se les llama también dígitos.

Características principales del Sistema de Numeración Decimal Actual

Las reglas y convenciones que permiten expresar y escribir todos los números, constituye un sistema de numeración, se trata de un sistema decimal de base diez, en que cada cifra tiene un valor que depende del lugar que ocupa, o sea, que cada unidad de un determinado orden (derecha a izquierda) representa un valor diez veces mayor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la derecha.

Lo mismo se aplica para las cifras decimales, se escriben estas a la derecha de las unidades simples y se separan de estas con una coma, de esta manera se constituyen ordenes sucesivos donde cada cifra representa un valor diez veces menor que cada unidad del orden inmediatamente anterior situado a la izquierda.

En un numeral, cada dígito tiene un valor absoluto, un valor relativo y un valor posicional.

Valor absoluto: valor invariable que posee cada dígito, independientemente de la posición que ocupe dentro del orden establecido.

Valor relativo: valor que adopta cada dígito según la posición que ocupa en el orden establecido.

Valor posicional: valor de los dígitos según su posición en el numeral.

9ª posición	8ª posición	7ª posición	6ª posición	5ª posición	4ª posición	3ª posición	2ª posición	1ª posición
Centenas de millón	Decenas de millón	Unidades de millón	Centenas de mil	Decenas de mil	Unidades de mil	Centenas	Decenas	Unidades
CMi	DMi	UMi	CM	DM	UM	C	D	U

Diez unidades forman una decena.

Diez decenas forman una centena.

Diez centenas forman una unidad de mil.

Diez unidades de mil forman una decena de mil.

Diez decenas de mil forman una centena de mil.

Diez centenas de mil forman una unidad de millón.

Diez unidades de millón forman una decena de millón.

Diez decenas de millón forman una centena de millón.

Para escribir una cifra en este sistema se colocan las cifras una a continuación de las otras, conviniendo en que cada una exprese unidades del orden indicado por el lugar que ocupa contando de derecha a izquierda. Se da el siguiente ejemplo de interpretación posicional de una cifra en este sistema:

Ej.) Expresar el número 42 875

42 785 donde las posiciones de las cifras son:

4 x 10⁴ = 40 000 Decenas de mil

2 x 10³ = 2 000 Unidades de mil

7 x 10² = 700 Centenas

8 x 10¹ = 80 Decenas

5 x 10⁰ = 5 Unidades

42 785

d. Sistema binario, octal y hexadecimal. Pasaje de una forma a otra.

Sistema binario

Es un sistema posicional de base 2, que se emplea en el funcionamiento de computadoras electrónicas y atiende amplias aplicaciones en la tecnología moderna.

Su estructura es similar a los demás sistemas, pero llama la atención, pues solamente con los símbolos 0 y 1, podemos escribir cualquier número.

Equivalencia entre números escritos en sistema decimal y binario:

DECIMAL	BINARIO	DECIMAL	BINARIO
1	1	9	1001
2	10	10	1010
3	11	11	1011
4	100	12	1100
5	101	13	1101
6	110	14	1110
7	111	15	1111
8	1000	16	10000

Ejemplo:

11001₂, se lee: uno, uno, cero, cero, uno en base dos.

Origen:

Godofredo Guillermo Leibniz (filósofo y matemático alemán 1646-1716), observó que podía representar cualquier número con las cifras 0 y 1, en vez de emplear 10 cifras como en el sistema decimal.

Esta idea de un sistema binario que presentó, quizás como una curiosidad en su tiempo, ha resultado muy útil y de gran importancia para las modernas máquinas de calcular electrónicas.

Sistema octal

Es aquel que utiliza 8 números comprendidos del 0 al 7 (de base 8). Los números octales pueden hacerse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de éstos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Este tipo de sistema es usado más que todo en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en vez de la decimal, por ejemplo para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín “nueve” (novem), se parece tanto a “nuevo” (novus). Podría tener el significado de número nuevo.

Sistema hexadecimal

Es aquel sistema que utiliza dieciséis dígitos para su aplicación de los cuales se comprenden diez números decimales (0 al 9) y completa los números faltantes con las primeras seis letras de el alfabeto ("A" a la "F"). Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación.

Cuadro en común de los cuatro sistemas:

Decimal	Binario	Hexadecimal	Octal
0	00000	0	0
1	00001	1	1
2	00010	2	2
3	00011	3	3
4	00100	4	4
5	00101	5	5
6	00110	6	6
7	00111	7	7
8	01000	8	10
9	01001	9	11
10	01010	A	12
11	01011	B	13
12	01100	C	14
13	01101	D	15
14	01110	E	16
15	01111	F	17
16	10000	10	20
17	10001	11	21
…	…	…	…
30	11110	1E	36
31	11111	1F	37
32	100000	20	40

Pasajes

§ De decimal a binario

Para cambiar un número decimal a un número binario, se divide el número entre dos. Se escribe el cociente y el resto. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea uno. Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el resto. Para obtener el número binario, una vez llegado a l uno indivisible, se encuentra el último cociente, el uno final (todo número binario excepto el cero empieza por uno), seguido de los restos de las divisiones subsiguiente. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el binario que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema binario.

Ejemplo: nº 26

26	2
0	13	2
	1	6	2
		0	3	2
			1	1

0 1 0 1 1

leer

26₁₀= 11010₂

§ De binario a decimal

Para realizar esta conversión hay que hacer lo siguiente:

1. Iniciar por el lado derecho del número binario, cada número multiplicarlo por dos y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumar todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplo:

Binario = Decimal

110101₂ = 53₁₀

Proceso:

1x2⁰=1

0x2¹=0

1x2²=4

0x2³=0

1x2⁴=16

1x2⁵=32

La suma es: 53

§ De binario a octal

La conversión entre binario y octal es casi directa.

Por ejemplo: si tenemos el número: 10010010001000101101001₂

Para convertirlo a octal agrupamos los dígitos de tres en tres empezando por la derecha, y rellenamos con ceros a la izquierda hasta tener sólo grupos de tres bits ó dígitos:

010 010 010 001 000 101 101 001

A cada grupo de tres dígitos le podemos hacer corresponder un dígito octal, al 000 el 0, al 001 el 1, al 010 el 2……, al 111 el 7.

Así podemos traducir directamente el número anterior a octal:

22210551₈ (octal)

§ De octal a binario

La conversión entre octal y binario es simple:

Si el número octal es:

125₈

Cambiamos cada dígito octal por su equivalente binario:

001 010 101

Y después eliminamos los separadores y los ceros iniciales:

1010101₂ (binario)

§ De Decimal a octal

Se realiza de la misma manera que el pasaje del sistema binario. Se divide el número por 8, de la división obtenemos dos números; uno se llamará resto y otro cociente. Si el cociente es mayor que 7, se divide el cociente entre 8. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea menor que 7.

Para obtener el número octal, una vez llegado al número indivisible por 7, se encuentra el último cociente, seguido de los restos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el octal que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema octal.

85	8
5	10	8
	2	1

521

Se lee

125

85₁₀= 125₈

§ De octal a decimal

1- Iniciar por el lado derecho del número octal, cada número multiplicarlo por ocho y elevarlo a la potencia consecutiva (iniciando por la potencia 0).

2- Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sumar todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplo:

125

Octal-decimal:

Proceso:

5 x 8⁰ = 5 x 1 = 5

2 x 8¹= 2 x 8 = 16

1 x 8² = 1 x 64 = 64

5 + 16 + 64 = 85

125₈ = 85₁₀

§ De decimal a hexadecimal

Se realiza de la misma manera que el pasaje del sistema binario y octal. Se divide el número por 16(número de cifras del sistema hexadecimal), de la división obtenemos dos números; uno se llamará resto y otro cociente. Si el cociente es mayor que 16, se divide el cociente entre 16. Se vuelve a escribir el cociente y es resto. Este proceso se sigue realizando hasta que el cociente sea menor que 16.

Para obtener el número hexadecimal, una vez llegado al número indivisible por 16, se encuentra el último cociente, seguido de los restos de las divisiones subsiguientes. Del más reciente hasta el primero que resultó. Este número será el hexadecimal que buscamos. A continuación analizaremos un ejemplo de número del sistema decimal pasado a sistema hexadecimal.

364	16
12	22	16
	6	1

1 6 12

1 = 1 en el sistema hexadecimal

6 = 6 en el sistema hexadecimal

12 = C en el sistema hexadecimal

Se lee: 16C

364₁₀= 16C₁₆

§ De hexadecimal a decimal

Se inicia por el lado derecho del número hexadecimal, a las letras se las reemplaza por los números correspondientes; luego se los multiplica por 16 y se los eleva a la potencia consecutiva empezando por cero. Después se realizan las multiplicaciones y se suman los resultados.

Ejemplo:

16C

C = 12 12 x 16⁰ = 12 x 1 = 12

6 = 6 6 x 16¹ = 6 x 16 = 96

1 = 1 1 x 16² = 1 x 265 = 256

12 + 96 + 256 = 354

16C₁₆ = 354₁₀

e. Reflexión sobre la conveniencia o no de la enseñanza de estos temas:

Consideramos prioritario la enseñanza del Sistema de Numeración Decimal, creemos que el alumno debe llegar a comprenderlo y utilizarlo sin ningún tipo de problema, ya que lo empleará el resto de su vida.

A los demás Sistemas (Binario, Octal y Hexadecimal), suponemos que si bien no son tan necesarios como el Sistema Decimal, sí habría que exponerlos para que sepan que no solo existe un Sistema de Numeración, pero no profundizarlos.

En cuanto a los Sistemas de Numeración Hindú, Egipcio, Babilónico y Romano, dependiendo de los intereses de los alumnos, explicarles o no estos Sistemas. Si es un grupo desinteresado en el tema, sólo exponer el sistema Romano, que es el más utilizado de los cuatro.

f. Situaciones problemáticas sobre sistemas de numeración de distintas bases

1- Expresa en sistema binario:

a- Tu edad

b- Tu peso

c- Tu grado

d- El número hermanos que tienes

e- El número de alumnos de tu grado

f- El número de los meses del año

g- El número de los días de la semana

h- El número de las semanas del año

a-Tu edad: 14 años:

14	2
0	7	2
	1	3	2
		1	1

Respuesta: 14₍₁₀₎= 1110₍₂₎

b- Tu peso: 51 Kg.

51	2
1	25	2
	1	12	2
		0	6	2
			0	3	2
				1	1

Respuesta: 51₍₁₀₎= 110011₍₂₎

c- Tu grado: 9º

9	2
1	4	2
	0	2	2
		0	1

Respuesta: 9₍₁₀₎= 1001₍₂₎

d- Hermanos: 3

3	2
1	1

Respuesta: 3₍₁₀₎ = 11₍₂₎

e- El número de alumnos: 23

23	2
1	11	2
	1	5	2
		1	2	2
			0	1

Respuesta: 23₍₁₀₎ = 10111₍₂₎

f- Meses del año: 12

12	2
0	6	2
	0	3	2
		1	1

Respuesta: 12₍₁₀₎ = 1100₍₂₎

g- Días de la semana: 7

7	2
1	3	2
	1	1

Respuesta: 7₍₁₀₎ = 111₍₂₎

h- Semanas en un año: 52

52	2
0	26	2
	0	13	2
		1	6	2
			0	3	2
				1	1

Respuesta: 52₍₁₀₎ = 110100₍₂₎

2- En una imprenta se imprimen 500 libros por día. Se los guarda en bolsas de 8 libros. Luego se los coloca en cajas de 8 bolsas cada una. ¿Cuantas cajas de 8 bolsas se realizan por día? ¿Quedan libros sueltos? Completa el cuadro y verifica:

500	8
4	62	8
	6	7

Cajas	bolsas	Libros sueltos
7	6	4

500₍₁₀₎ = 764₍₈₎

Verificación:

4 x 8⁰= 4 x 1 = 4

6 x 8¹ = 6 x 8 = 48

7 x 8² = 7 x 64 = 448

4 + 48 +448 = 500

Respuesta: Se realizan por día 7 cajas. Quedan 4 libros sueltos

3- En una plantación se producen 1000 manzanas. Se las guarda en cajones de 16 manzanas cada uno. Se las carga en una camioneta para llevar al mercado, en esta entran 16 cajones, debe salir siempre llena.¿Cuantos viajes se hacen? ¿Quedan cajones en la plantación? ¿Y manzanas sueltas?

Viajes	Cajones	Manzanas
3	14	8

1000	16
8	62	16
	14	3

3E8₍₁₆₎ = 1000₍₁₀₎

Verificación:

8 x 16⁰= 8 x 1 = 8

E x 16¹ = 14 x 16 = 224

3 x 16²= 3 x 256 = 768

8 + 224 + 786 = 1000

Respuesta: Se hacen 3 viajes, quedan 14 cajones en la plantación y 8 manzanas sueltas.

Adulto-adolescente

2010-12-08T19:48:00.000-03:00

El Adulto

Concepto:

Etimológicamente la palabra adulto (del latín “adultus”), significa crecer.

La definiremos como la plenitud a la que arriban los seres vivos en un momento dado de su existencia (Plenitud Vital). En los seres humanos se alcanza la adultez a través de un proceso de integración de sus diferentes estados tanto biológicos, psicológicos y mentales, así como ergológicos, sociales y jurídicos.

Ser humano adulto:

Tiene la capacidad de procrear, participar en el trabajo productivo y asumir responsabilidades inherentes a su vida social, para actuar con independencia y tomar sus propias decisiones con entera libertad.

La adultez en el ser humano (plenitud vital):

Es un proceso acumulativo y variado, al cual se arriba mediante etapas sucesivas y diferentes edades.

¨ Adultez Biológica:

Se caracteriza por el desarrollo anatómico y fisiológico de los órganos y de su capacidad de funcionamiento, es su capacidad de reproducción, que se hace presente entre los 11 y 15 años de edad.

¨ Adultez Psicológica:

Se caracteriza por el desarrollo de la actividad psíquica en su máximo grado. Las funciones intelectuales, emocionales y conativas adquieren mayor intensidad, amplitud y funcionalidad. Se alcanza entre los 15 y 18 años.

¨ Adultez Sociológica: Se manifiesta en tres sectores:

§ En el trabajo:

El ser humano se puede incorporar a la fuerza laboral, según normas legales, a partir de los 16 años, con una jornada de 6 horas diarias y previa autorización paterna.

§ En la participación social (política y cívica):

Implica la posesión de ciertos criterios sobre el orden económico y social que encauza su comportamiento cívico ajustando su conducta a los procedimientos normativos existentes, sin que ello signifique aceptación o resignación frente a los mismos.

§ Responsabilidad jurídica:

No es potestativa del hombre como individuo, sino de la sociedad, que determina y otorga derechos y libertades, deberes y responsabilidades; entre los 20 y 21 años de edad.

La edad adulta tiene sub-etapas, las cuales son:

Edad Adulta Temprana (entre los 20 y 40 años)
Edad Adulta Intermedia (entre los 40 y 65 años)
Edad Adulta Tardía (después de los 65 años de edad)

Las principales características a tener en cuenta, de estas sub-etapas, del adulto son:

¨ Pretende y desarrolla una vida autónoma en lo económico y en lo social.

¨ Posee un concepto de sí mismo como capaz de tomar decisiones y autodirigirse (actúa en forma independiente).

¨ Juega un papel social, que conlleva responsabilidades desde el punto de vista económico y cívico.

¨ Su inteligencia sustituye a la instintividad.

¨ Su preocupación por el saber requiere del saber hacer y del saber ser.

¨ En los últimos años se considera como alguien que enseña, educa o instituye. Necesita sentirse útil.

En su papel de educando:

¨ Se acerca al acto educativo con disposición para aprender.

¨ Autodirige su aprendizaje

¨ Se muestra como analítico y controvertible de la sociedad, la ciencia y la tecnología.

¨ Busca calidad de vida con exigencias donde se le respete su posibilidad de crecer como persona y se le acepte como crítico, racional y creativo.

¨ Su motivación para aprender se orienta hacia el desarrollo de tareas específicas.

¨ Busca la aplicación y práctica inmediata de aquello que aprende.

El Adolescente

Concepto de Adolescencia:

Es una época de cambios.

Un proceso con obstáculos y secuelas, con huidas y conquistas.

Es una etapa de crisis, una crisis de la identidad, que consiste en la capacidad de mantener el concepto de sí mismo, y la integridad frente a los cambios que ha de soportar.

El adolescente de hoy:

Se encuentra dentro de un contexto donde se acentúa el individualismo, se exalta “el culto al cuerpo”, el consumismo define al ser: “soy lo que tengo” y los medios de comunicación proponen a la adolescencia como modelo social; pero también se encuentra el adulto. Como resultado no nos encontramos con adolescentes en un período de “transición” sino en un “estado”, donde la adolescencia tiende a prolongarse en el tiempo.

Los padres se ven atenuados en su capacidad de contención, por lo que el adolescente se enfrenta a grados de libertad que dan lugar a la incontinencia y el abandono.

Ante este contexto el adolescente debe enfrentase a cuatro duelos por los que tiene que pasar para convertirse en adulto; ellos son:

· El duelo por el cuerpo infantil: Hoy el adolescente ingresa en un estado reconocido como “ideal”. Deja el cuerpo de la niñez para ser poseedor del “cuerpo que hay que tener”.

· El duelo por el rol y la identidad infantil: hoy se valida seguir actuando y deseando ser como cuando se era niño, por lo que los valores de la infancia se mantienen socialmente.

· El duelo por los padres de la infancia: Convertirse en adultos significa rearmar las figuras paternas, darse cuenta que los padres no lo pueden todo. Pero el adolescente de hoy encuentra que sus padres tienen sus propias dudas, no mantienen valores claros y coherentes, y en algunos casos hasta comparten sus mismos conflictos.

· El duelo por la bisexualidad: La adolescencia ha sido siempre una etapa de búsqueda de la identidad sexual. En la actualidad la necesidad de superar la bisexualidad no parece requerir ningún duelo, sino que aparece como una característica atractiva de mantener, perdiéndose la identidad sexual clara.

“Ser adolescente hoy implica vivir en un mundo lleno de transformaciones e incertidumbres”.

El adolescente ha de ir adaptándose a una nueva imagen corporal, y a través de nuevas experiencias, consolidando una nueva identidad, para ir integrándose socialmente, a la vez que se va independizando de los lazos familiares.

Es importante el papel de los adultos que lo rodean; lo que se ha de intentar conseguir es que no se sientan rechazados. Por lo que los padres han de mantener una actitud de calma, intentando comprender y aceptar los cambios que el adolescente esta sufriendo.

Acciones para acompañar el proceso de crisis adolescente

Educar en la adolescencia es acompañar:

Es estar al lado de, disponibles para empujar cuando se estancan.

Entablando y aumentando la comunicación de manera continua.

Comprendiendo y dando respuestas a sus interrogantes.

Facilitándoles que aprendan de lo que experimentan, manteniendo la confianza y la esperanza en sus posibilidades cuando fracasan.

Platón y Aristóteles

2010-12-08T19:47:00.001-03:00

Aristóteles

Nació en el año 384 a.C. en una pequeña localidad macedonia cercana al monte Athos llamada Estagira, de donde proviene su sobrenombre, el Estagirita. Su padre, Nicómaco, era médico de la corte de Amintas III, padre de Filipo y, por tanto, abuelo de Alejandro Magno. Nicómaco pertenecía a la familia de los Asclepíades, que se reclamaba descendiente del dios fundador de la medicina y cuyo saber se transmitía de generación en generación. Por lo que seguramente Aristóteles fue iniciado de niño en los secretos de la medicina y de allí surge su interés por la investigación experimental y la ciencia positiva.

En el año 367, es decir, cuando contaba diecisiete años de edad, fue enviado a Atenas para estudiar en la Academia de Platón.

Considera la geometría y la aritmética, como las dos ciencias más importantes.

Los objetos matemáticos, para Aristóteles, no eran independientes o ajenos a la experiencia. Eran abstracciones, idealizaciones, de objetos y realidades materiales independientes a la conciencia subjetiva del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. Estos objetos no pueden existir per se, sino en los objetos individuales. Los objetos matemáticos de Aristóteles se pueden apreciar como universales.

Para Aristóteles, las cosas materiales son la primera sustancia de la realidad. El conocimiento se obtiene de la experiencia sensorial por intuición y abstracción. Sin embargo, las ciencias deductivas abstractas son más importantes:

"La ciencia que no tiene un objeto sensible está por encima de la que lo tiene, como, por ejemplo, la aritmética, que es superior a la música. La ciencia que procede de un número menor de elementos es superior a la que necesita adjunciones, y en este concepto la aritmética vale más que la geometría”.

La aplicabilidad de la matemática, la conexión de correspondencia entre las proposiciones matemáticas y la naturaleza, es posible precisamente por ser abstracciones.

Aristóteles señala también la necesidad lógica que existe entre los objetos de la matemática.

"Todo conocimiento racional, ya sea enseñado, ya sea adquirido, se deriva siempre de nociones anteriores. La observación demuestra que esto es cierto respecto de todas las ciencias; porque es el procedimiento de las matemáticas y de todas las demás artes, sin excepción”.

Aristóteles establece un modelo para las ciencias demostrativas o deductivas, que parte de tres postulados: deductividad, evidencia y realidad. El primero es el que establece la axiomática; el segundo, la claridad y evidencia de los axiomas y conceptos primitivos; el tercero, que la ciencia demostrativa en cuestión tiene objetos reales.

Fue el creador de la lógica formal: es la disciplina filosófica que estudia la corrección o validez de los razonamientos. En su lógica, distinguía entre la dialéctica y la analítica. En lógica, Aristóteles desarrolló reglas para establecer un razonamiento encadenado que, si se respetaban, no producirían nunca falsas conclusiones si la reflexión partía de premisas verdaderas (reglas de validez). En el razonamiento los nexos básicos eran los silogismos: proposiciones emparejadas que, en su conjunto, proporcionaban una nueva conclusión. En el ejemplo más famoso, «Todos los humanos son mortales» y «Todos los griegos son humanos», se llega a la conclusión válida de que «Todos los griegos son mortales». La ciencia es el resultado de construir sistemas de razonamiento más complejos. Como se ha señalado, en su lógica, Aristóteles distinguía entre la dialéctica y la analítica; para él, la dialéctica sólo comprueba las opiniones por su consistencia lógica. La analítica, por su parte, trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa.

La dialéctica analiza las opiniones a partir de su plausibilidad (su grado de aceptación por la comunidad), derivando en el examen de su verdad o falsedad.

La analítica trabaja de forma deductiva a partir de principios que descansan sobre la experiencia y una observación precisa.

Gracias al movimiento geométrico, se han inventado curvas muy hermosas. La más notable es, sin duda, la rueda de Aristóteles llamada cicloide por Galileo o por Descartes, y ruedecilla por Pascal, quien la describía así:

“La ruedecilla es una línea tan común, que después de la recta y la circular, hay pocas tan frecuentes. Se presenta tan a menudo frente a nuestros ojos, que resulta sorprendente que los antiguos(…..) no la hayan estudiado, ya que no es otra cosa que el recorrido que hace en el aire el clavo de una rueda, cuando gira por su movimiento habitual, desde que este empieza a elevarse de la tierra hasta que el giro continuo de la rueda lo hace volver al suelo, una vez concluido el giro, suponiendo que la rueda es un círculo perfecto, y el clavo un punto en su circunferencia, y que la superficie de la tierra es perfectamente plana”.

Aristóteles además afirmó que:

La velocidad de la caída de un cuerpo es proporcional a su peso.

El movimiento es común en todas las sustancias del universo aunque de modo diverso.

Toda sustancia material esta en un lugar en donde no existe vacío

Todas las cosas están constituidas por cuatro elementos fundamentales: fuego, agua, tierra y aire. El peso de un cuerpo está determinado por la proporción que contiene de cada uno de ellos. Por otra parte, el peso determina el estado de movimiento “natural” de las cosas: hacia abajo los más pesados (compuestos principalmente por tierra y agua), hacia arriba los más livianos (cuyos principales componentes son el fuego y el aire). En esta descripción no están incluidos los astros,

Planteo que la Tierra era una esfera y no una plataforma.

Observó que los eclipses lunares se debían a que la Tierra se situaba entre el Sol y la Luna. Aristóteles estimó que la circunferencia de la Tierra era de 400.000 estadios (medida antigua, con longitud aproximada de 200 metros por estadio), aproximadamente el doble de la longitud real de dicha circunferencia.

Creía que el Sol, los planetas y las estrellas giraban en órbitas circulares alrededor de la Tierra, porque estaba convencido de que esta era el centro del Universo y de que el movimiento circular era el más perfecto.

Junto con Platón, combatieron a Epicuro y a los atomistas quienes defendían la superioridad del movimiento recto. Estaba convencido de que el movimiento perfecto al que obedece la naturaleza es la rotación.

Fue el primero en expresar claramente que cuanto hay sobre la Tierra es atraído hacia su centro, y que la fuerza que hace posible esto se llama gravedad.

Platón (en griego Πλάτων)

(428 a. C. – 347 a. C.) Platón, que realmente se llamaba Aristocles Podros, y cuyo seudónimo Platón significa el de la espalda ancha. Fue un filósofo griego, alumno de Sócrates (influido profundamente por las enseñanzas de éste; de hecho, sus primeras ideas y ensayos lucen como adaptaciones de las de Sócrates), y maestro de Aristóteles. De familia nobilísima y de la más alta aristocracia.

Platón es quién determinó gran parte del corpus de creencias centrales tanto del pensamiento occidental como del hombre corriente (aquello que hoy denominamos "sentido común" del hombre occidental) y pruebas de ello son la noción de "Verdad" y la división entre "doxa" (opinión) & "episteme" (ciencia), demostró o creó y popularizó (según la perspectiva desde donde se le analice) una serie de ideas comunes para muchas personas, pero enfrentadas a la línea de gran parte de la filósofos presocráticos y al de los sofistas (muy populares en la antigua Grecia) y que debido a los caminos que tomó la historia de la Metafísica, en diversas versiones y reelaboraciones, se han consolidado. Su influencia como autor y sistematizador ha sido incalculable en toda la historia de la filosofía, de la que se ha dicho con frecuencia que alcanzó identidad como disciplina gracias a sus trabajos.

Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice de matemáticos, debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática de su época. La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, de ahí la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía de Platón.

Empezando por sus obras, entre las más importantes se cuentan los Diálogos y La República (en griego Πολιτεια, politeia, "forma de gobernar - ciudad"), en la cual elabora la filosofía política de un estado ideal; el Fedro, en el que desarrolla una compleja e influyente teoría psicológica; el Timeo, un influyente ensayo de: cosmogonía; cosmología racional; física y escatología (religión), influido por las matemáticas pitagóricas; y el Teeteto, el primer estudio conocido sobre filosofía de la ciencia.

Fue fundador de la Academia de Atenas en 387 a. C. (situada en las afueras de la ciudad, junto al jardín dedicado al héroe Academo, de donde procede el nombre de Academia). La Escuela, una especie de secta de sabios organizada con sus reglamentos, residencia de estudiantes, biblioteca, aulas y seminarios especializados, fue el precedente y modelo de las modernas instituciones universitaria. Buena parte de los estudios y campos de investigación de la Academia tendrían que ver con las cuatro materias del Cuadrivium de Arquitas tal como se presenta en el Libro VII de la República: Aritmética, Geometría, Astronomía y Música, todas ellas disciplinas matemáticas que constituían una propedéutica necesaria a la ciencia suprema de la Dialéctica. Allí estudió Aristóteles, y fue el centro de la actividad matemática de la época y de donde surgieron los principales maestros e investigadores de mediados del siglo IV a. C. Se dice que sobre las puertas de su escuela estaba escrito el lema “No entra aquí nadie que ignore la geometría”, y efectivamente su entusiasmo por esta materia lo llevo a ser conocido no como matemático, sino como “hacedor de matemáticos”. Participó activamente en la enseñanza de la Academia y escribió sobre diversos temas filosóficos, especialmente los que trataban de la política, ética, metafísica y epistemología. De acuerdo con las declaraciones de Proclo, ratificadas por las investigaciones de los historiadores modernos, Platón y los matemáticos de la Academia ampliaron de forma considerable el acervo matemático, clarificaron algunas definiciones, reorganizaron las hipótesis de partida, rehicieron muchas demostraciones, generalizaron numerosos teoremas, resolvieron una gran cantidad de problemas pendientes, escribieron Elementos a base de reordenar el Corpus geométrico de forma sistemática y jerárquica, seleccionando los problemas y teoremas que se toman como elementales (de ahí el nombre de Elementos), y lo más importante: discutieron los Fundamentos de las Matemáticas y se interesaron especialmente por la metodología de la investigación matemática, que se benefició considerablemente del Método de Análisis, llamado Método platónico.

Las obras más famosas de Platón fueron sus diálogos. Si bien varios epigramas y cartas también han perdurado.

La aritmética y la geometría platónicas.

El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas, pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica.

La importancia de Platón en la historia de la matemática deriva en gran parte de su papel como inspirador y director de otros matemáticos, pero quizá a él personalmente se daba la distinción neta y clara en la Antigua Grecia entre aritmética (en el sentido de la teoría de los números) y logística (o técnica de la computación). Platón consideraba a la logística como conveniente para el comerciante o para el hombre de guerra, que “debe aprender el arte de los números o no sabrá como desplegar sus tropas”. El filosofo, en cambio, debe ser una aritmético “porque tiene que conseguir salir del mar del cambio para establecer contacto con el verdadero ser”.

Platón afirma en la República “la aritmética tiene un efecto muy grande y enaltecedor al obligar a la mente a razonar sobre el número abstracto”. Son tan elevados los pensamientos de Platón acerca del número, que alcanzan los dominios de lo místico, y aparentemente de lo fantástico.

Lo mismo que en la aritmética había para Platón un abismo que separaba los aspectos teóricos de los calculísticos, también en la geometría abrazó la causa de la matemática pura frente a las concepciones materialistas del artesano o del técnico. Platón es el responsable de la restricción predominante de las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse con regla y compás únicamente. La razón para esta limitación es probable que haya sido la simetría de estas configuraciones: cualquiera de los infinitos diámetros de un circulo es un eje de simetría de la figura, y cualquier punto de una recta extendida indefinidamente puede considerarse como un centro de simetría de la recta, lo mismo que cualquier recta perpendicular a la recta dada es un centro de simetría de esta recta. La filosofía platónica, con su casi divinización de las ideas, tenía que conceder de manera natural un papel privilegiado a la recta y a la circunferencia entre todas las figuras geométricas. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.

Para Platón los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los inventa o crea. Por ello, la Matemática debe ser independiente de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar liberada intelectualmente de todo instrumento material Platón glorificó también al triángulo, ya que consideraba que las caras de los poliedros regulares no eran simplemente triángulos, cuadrados o pentágonos, sino que, por ejemplo, cada una de las caras del tetraedro estaba formada por 6 triángulos rectángulos más pequeños, que se obtienen al trazar las tres alturas del triángulo equilátero o cara en cuestión, así, pues, el tetraedro regular quedaba descompuesto en 24 triángulos rectángulos escalenos en cada una de los cuales la hipotenusa es el doble que uno de los catetos; el octaedro regular quedaba descompuesto de una manera análoga en 8 x 6 = 48 triángulos del mismo tipo, y el icosaedro en 20 x 6 = 120 triángulos. De la misma manera el hexaedro o cubo estaba constituido por 24 triángulos rectángulos isósceles obtenidos al trazar las diagonales de la seis caras, en cada una se forman cuatro triángulos rectángulos.

Al dodecaedro le había asignado Platón un papel especial como representante del universo, diciendo de una manera críptica que “Dios lo usó para todo”. Platón consideraba al dodecaedro formado por 360 triángulos rectángulos escalenos, que se obtienen al trazar en cada cara pentagonal las cinco diagonales y las cinco medianas, de manera que cada una de las doce caras queda descompuesta en 30 triángulos rectángulos.

La asociación de los cuatro primeros poliedros regulares; el tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo, con los cuatro elementos del universo tradicionales; fuego, aire, agua y tierra respectivamente proporcionó a Platón en el Timeo una bella teoría unificada de la materia según la cuál todo está construido a base de triángulos rectángulos ideales, y la fisiología en su totalidad, así como las ciencias de la materia inerte, están basadas en el funcionamiento de éstos triángulos de acuerdo al Timeo.

Los orígenes del análisis

Platón fue el más influyente en convertir la matemática en una parte esencial del curriculum necesario para la educación del hombre de estado. Platón añadiría a las materias que componían originalmente el cuadrivirium un tema nuevo, la estereometría, ya que creía que no se había puesto énfasis suficiente en la geometría de los sólidos. Platón discutió también los fundamentos de la matemática, clarificó algunas definiciones y reorganizó la hipótesis de partida, subrayando de paso que los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.

Platón consideró al punto como el comienzo de una línea. La definición de una línea como “longitud sin anchura” parece haber tenido su origen en la escuela de Platón, lo mismo que la idea que una línea recta es “la que yace igualmente con respecto a todos sus puntos” y en la aritmética Platón subrayó no sólo la distinción entre números pares e impares, sino también las categorías “par por par”, “impar por par” e “impar por impar”.

En las demostraciones de la matemática deductiva uno comienza con lo que le viene dado, ya sea en general en los axiomas y postulados o de una manera más concreta en los problemas a mano y, procediendo paso a paso, una consigue llegar a la afirmación que se deseaba demostrar. Platón formalizó un procedimiento llamado método analítico o análisis en el que señala que a veces es conveniente desde un punto de vista pedagógico invertir el proceso, sobre todo cuando la cadena de razonamiento de las premisas a la conclusión no es un principio natural y obvio. Uno podría comenzar por la proposición que hay que demostrar y deducir de ella una conclusión que se sabe se verifica. Si podemos entonces invertir las etapas de esta cadena de razonamiento, el resultado será una legítima demostración de la proposición dada.

Relación entre Platón y Aristóteles

Para Platón, las matemáticas formaban parte del mundo inteligible; esto es, la ciencia, la filosofía exigía un trabajo deductivo de conceptos que recogieran lo universal de las Ideas.

Aristóteles en cambio no consideraba que hubiese un mundo eidético aparte del mundo sensible y que fuese la esencia de éste. De ahí que las matemáticas, al contrario de los pitagóricos y de Platón, no contribuían en la sustentación de la existencia del mundo.

Aristóteles distinguía entre la dialéctica y la analítica, esto supone una ruptura deliberada con la Academia de Platón, escuela donde la dialéctica era el único método lógico válido, y tan eficaz para aplicarse en la ciencia como en la filosofía.

Aristóteles se separó de la visión de su maestro Platón; más que matemáticas creía en las cosas materiales como la fuente de la realidad. El conocimiento se generaba a través de la abstracción y la intuición. Sin embargo, Aristóteles también ponía énfasis en la existencia de primeros principios y la organización deductiva.

Los objetos matemáticos, para Aristóteles, no eran independientes o ajenos a la experiencia como en Platón. Eran abstracciones, idealizaciones, de objetos y realidades materiales independientes a la conciencia subjetiva del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. Los objetos matemáticos de Aristóteles se pueden apreciar como universales.

Existe un sentido de realidad diferente en las proposiciones matemáticas en Platón y Aristóteles; sin embargo, en ambos las matemáticas se refieren al ser, a una realidad; por tanto, sus proposiciones son verdaderas o falsas. Y, además, Aristóteles seguía afirmando la existencia de entes independientes aunque ejemplificados en las cosas materiales

"La idea de que las formas son sustancias que existen independientemente de la materia en la que son ejemplificadas, parece poner al descubierto a Aristóteles contra sus propios argumentos, contra las ideas platónicas. Él cree que una forma es algo muy distinto de un universal, pero tiene muchas de las mismas características. La forma es más real que la materia; esto es una reminiscencia de la única realidad de las ideas. El cambio que Aristóteles hace en la metafísica de Platón es menor de lo que él cree''.

En Platón y Aristóteles, aunque no de la misma forma, el acento en lo deductivo y lo verdadero, son partes de su interpretación de la ciencia y la matemática. El esquema axiomático que establece Aristóteles va a sintetizar una aproximación metodológica que manifiestan las obras de los principales matemáticos y científicos griegos. Y va ser aceptado como un requisito teórico.

Bibliografia:

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/Platon1.asp

Enciclopedia Larrouse- Matemática e Informática- Tomo X

Clarin- Ciencia Aplicada

Clarin- Historia Universal- Alejandro y el Mundo Griego (Tomo IV)

http://www.virtualum.edu.co

http://valdeperrillos.com

http://aportes.educ.ar/fisica/nucleo-teo…

http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-e_ar…

Hejemonía Árabe

2010-12-08T19:47:00.000-03:00

Las Conquistas Árabes

La península arábiga se encontraba sumida en una profunda crisis; Arabia estaba habitada en su mayor parte por nómades del desierto, conocidos con el nombre de beduinos (no sabían leer ni escribir); en este marco sociopolítico surgió el profeta Mahoma (nació en la Meca hacia el 570), que durante 10 años predicó y enseñó su doctrina en la Meca. Viendo su vida amenazada por un complot, acepta trasladarse a Yatrib (Medina), esta huida fue conocida como la hégira y señala el comienzo de la Era Mahometana; la cual ejerció durante siglos una poderosa influencia en el desarrollo de la matemática. Así Mahoma se convirtió en un líder militar y a la vez religioso.

Hacia el año 632, Mahoma planeaba atacar el Imperio Bizantino y muere en Medina (Yatrib); su muerte no impidió la expansión del Estado islámico apenas fundado, ya que sus seguidores invadieron los territorios fronterizos. Aunque en pocos años cayeron en poder de los conquistadores Damasco, Jerusalén y la mayor parte del valle mesopotámico. En el 641 fue capturada Alejandría, que había sido durante casi mil años el centro matemático del mundo.

Durante el primer siglo de las conquistas árabes se produjo un ambiente de considerable confusión política e intelectual y probablemente esto fue la causa de las dificultades con que nos encontramos para localizar los orígenes del sistema de numeración decimal moderno. Al parecer los árabes no manifestaron en un principio ningún interés intelectual y contaban con un escaso bagaje cultural. Sabemos que hacia el 766 o antes llegó a Bagdad procedente de la India una obra astronómico-matemática, que los árabes conocieron con el nombre de Sindhind (se supone que esta obra era el Brahmasphuta Siddhanta, pero también puede haberse tratado del Surya Siddhanta), años más tardes se tradujo al árabe y poco después se tradujo del griego al árabe el Tetrabiblos (tratado astrológico de Ptolomeo). Estas obras despertaron el interés intelectual de los conquistadores árabes; los cuales asimilaron la cultura de sus vecinos.

La “Casa de la Sabiduría”

Al-Mamun fue quién fundó en Bagdad la “Casa de la Sabiduría” (Bait Al-Hikma), comparable al Museo de Alejandría. Entre los miembros de esta especie de universidad se encontraba Mohammed ibn-Musa Al-Khowarizmi, matemático y astrónomo, escribió más de media docena de obras astronómicas y matemáticas; las primeras basadas probablemente en el Sindhind (recibido de la India). Además de tablas astronómicas y tratados sobre el astrolabio y el reloj de sol, escribió dos libros sobre aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la historia de la matemática. El primero de ellos nos ha llegado a través de una copia única, de traducción latina con el título de “De numero indorum”(sobre el arte de calcular hindú), de la cual el original árabe se perdió. En esta obra, que estaba basada en una traducción árabe de Brahmagupta, daba Al-Khowarizmi una exposición tan completa del sistema de numeración hindú, que es él probablemente el responsable de la extendida, aunque falsa expresión de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe. Al-Khowarizmi no formula ninguna reclamación de originalidad con respecto al sistema en cuestión dando por descontado su origen hindú, al aparecer en Europa las traducciones latinas de esta obra, los lectores que carecían de información al respecto, atribuyeron al autor no solo la obra, sino también el sistema de numeración expuesto en ella, así el sistema de notación se conoció como “el de Al-Khowarizmi”, y a través de las deformaciones como “algorismi”. Este sistema de numeración que hace uso de los numerales hindúes vino a ser denominado como “algorismo” ó “algoritmo”.

Al-Jabr

A través de esta obra Al-Khowarizmi nos ha transmitido otro término popular, puesto que de este título en árabe se ha derivado la palabra “álgebra”; además se debe tener en cuenta que fue de este libro del que aprendió Europa la rama de la matemática que lleva su nombre.

Se le llama a Diofanto “el padre del álgebra”, aunque este título se le aplicaría mejor a Al-Khowarizmi. Si bien es verdad que al menos en dos aspectos la obra de Al-Khowarizmi representa un retroceso respecto a la de Diofanto: en primer lugar es de un nivel mucho más elemental que el que nos encontramos en los problemas de Diofanto, y el segundo lugar, el álgebra de Al-Khowarizmi es completamente retórica, sin ninguna de las sicopasiones que encontramos en la aritmética de Diofanto; viene a estar, por otro lado, más próxima al álgebra elemental moderna que las obras de Diofanto o de Brahmagupta, ya que este libro no trata de difíciles problemas de análisis indeterminado, sino de la exposición directa y elemental de la resolución de ecuaciones. A los árabes en general les gustaba extraordinariamente poder seguir una argumentación lógica correcta y clara de las premisas a la conclusión, así como una organización sistemática, aspectos ambos en los que ni Diofanto ni los hindúes brillaban. Los hindúes tenían muy desarrollada una capacidad de asociación y analogía de intuición y de instinto estético unidos a una imaginación natural; mientras que los árabes tenían una mentalidad más práctica y más a ras de tierra en su enfoque de la matemática.

Las Ecuaciones Cuadráticas

La traducción latina del Algebra de Al-Khowarizmi comienza con una breve introducción acerca del principio de notación posicional para los números, y a continuación se expone la solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar simultáneamente en presencia los tres tipos posibles de cantidades: cuadrados, raíces y números (es decir, x², x y números). Comienza con el caso de los cuadrados igual a raíces, continúa con los cuadrados igual a números y resuelve este caso. Luego se ocupa de la resolución de los tres casos clásicos que presentan las ecuaciones cuadráticas completas:

§ Cuadrados y raíces igual a números

§ Cuadrados y números igual a raíces

§ Raíces y números igual a cuadrados

Sus soluciones consisten en “recetas” para “completar el cuadrado”.

El Álgebra de Al- Khowarizmi revela en su contenido elementos griegos inconfundibles, pero, sin embargo la primera parte puramente aritmética del Álgebra es completamente ajena al pensamiento griego. Los sabios árabes mostraron gran admiración por la astronomía, la matemática, la medicina y las filosofías griegas, temas todos ellos en los que profundizaron llegándolos a dominar lo mejor que pudieron. Lo más seguro es que su sistema de numeración provenga de la India, su solución algebraica sistemática de las ecuaciones de segundo grado puede haber sido un desarrollo procedente de la Mesopotamia, y el marco geométrico y lógico con el que justifica sus soluciones tienen su origen evidente en Grecia.

La Cosa

Durante la hegemonía árabe, Al-khowarizmi, trató un problema planteado inicialmente por Herón, lo que evidencia con toda claridad su dependencia de la corriente matemática que proviene de los babilónicos, el cual consiste en inscribir un cuadrado en un triángulo isósceles de base 12 unidades y lados iguales de 10 unidades.

El autor del álgebra calcula primero, con la ayuda del teorema de Pitágoras, la altura del triángulo, que es de 8 unidades, con lo cual se obtiene que el área del triángulo es de 48 unidades. Llamando al lado del cuadrado la "cosa", se observa que se obtendrá el cuadrado de la "cosa" restándole al triángulo grande las áreas de los triángulos pequeños que están fuera del cuadrado. La suma de las áreas de los dos triángulos inferiores es, evidentemente, el producto de la "cosa" por seis menos la mitad de la "cosa" por la "cosa" y el área del triángulo superior es el producto de ocho menos la "cosa" por la mitad de la "cosa", de ello se deriva que la "cosa" o lado del cuadrado es de 44 / 5.

Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:

obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia.
cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini.
extracción aproximada de raíces.
suma de progresiones aritméticas y geométricas.

Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A éstas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...

Además de la separación del álgebra, el rasgo característico más importante de las matemáticas árabes fue la formación de la trigonometría. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica.

Los árabes rechazaban las raíces negativas, y en general todo tipo de magnitudes absolutas negativas, sin embargo estaban familiarizados con las reglas que rigen las operaciones con números enteros positivos y negativos.

Había tres tipos de aritmética:

1. Aritmética de reconocimiento con dedos.

Este sistema procedía del 'contar con los dedos' y sus numerales estaban escritos en letras; este tipo de aritmética era el empleado por la comunidad de los negocios.

2. Sistema sexagesimal

El segundo de los tres sistemas era el sexagesimal, con numerales indicados por letras del alfabeto árabe. Era originario de los babilonios y fue utilizado principalmente por los matemáticos árabes para sus trabajos astronómicos.

3. Sistema numeral indio

El tercer sistema era la aritmética de los numerales indios y fracciones con el sistema de

colocación de valores decimales. Los números empleados procedían de la India aunque no eran un conjunto estándar. Distintas partes del mundo árabe utilizaba ligeras diferencias en los números. Al principio los métodos indios eran usados por los árabes en una pizarra de polvo. Se necesitaba una pizarra de polvo porque los métodos requerían escribir y borrar números a medida que las operaciones de cálculo iban teniendo lugar. Una pizarra de polvo permitía hacer esto al igual que hoy en día usamos una pizarra, tiza y un borrador. Sin embargo, al-Uqlidisi (nacido en 920) demostró cómo modificar el método para poder usar lápiz y papel. Al-Baghdadi también contribuyó a mejorar el sistema decimal.

Abd Al-Hamid Ibn-Turk

Se suele admitir que el algebra de Al-Khowarizmi es cronológicamente la primera obra árabe sobre el tema, pero recientemente se ha publicado en Turquía un libro que plantea algunas dudas sobre esto. Se ha encontrado el manuscrito de una obra escrita por Abd Hamid Ibn-Turk titulada “sobre las necesidades lógicas de las ecuaciones mixtas”, que debía formar parte de un libro sobre Al-jabr wa’l muqābalah, evidentemente muy parecido al de Al-Khowarizmi y publicado más o menos por la misma época, posiblemente incluso antes.

Los Numerales Árabes

Dentro de los extensos confines del Imperio Árabe vivían pueblos de orígenes étnicos muy variados: aparte de los árabes puros había sirios, griegos, egipcios, persas, turcos, beréberes, andalusíes y muchos otros. Estas diferencias culturales se manifestaron ocasionalmente de una manera muy clara en la matemática árabe, tal como ocurre en las obras de los matemáticos de los siglos X y XI, como Abu’l-Wefa y Al-Karkhi. En algunas de sus obras ambos utilizaron los numerales hindúes que habían llegado a Arabia junto con la obra astronómica de Sindhind, mientras que otras veces adoptaron el sistema de numeración griego alfabético. Finalmente los numerales hindúes, muy superiores ganaron la partida, pero incluso en el círculo de los que usaban la numeración india, la forma de los numerales difería considerablemente.

El sistema de numeración árabe provenía, casi con total seguridad, de la India, y por lo tanto sería más correcto llamar a nuestro propio sistema, Sistema Hindú o Hindú-Árabe.

La Trigonometría Árabe

Existían dos tipos de trigonometría: una de la geometría de las cuerdas griega, tal como se encuentra en el Almagesto, y la otra, utilizada por la mayor parte de la trigonometría árabe, basada en las tablas de senos hindúes, tales como las que aparecen en el Sindhind. De hecho, además, fue a través de los árabes y no directamente de los hindúes como pasó a Europa la trigonometría del seno.

Con Abu’l-Wefa la trigonometría adopta una forma más sistemática, en la que se demuestran ya teoremas como las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad, se le suele atribuir a Abu’l-Wefa el teorema de los triángulos esféricos, debido a su formulación clara y precisa. También construyó una nueva tabla de senos de ángulos de cuarto en cuarto de grado con ocho cifras decimales, una tabla de tangentes, e hizo uso en sus cálculos de las seis funciones trigonométricas usuales junto con diversas relaciones entre ellas.

En la India y también en Arabia se utilizaba una teoría general de longitudes de sombras con respecto a una unidad determinada de longitud o gnomon, para alturas variables del sol sobre el horizonte. Entonces la sombra horizontal proyectada por el gnomon vertical de longitud fija era lo que nosotros llamamos la cotangente del ángulo de la elevación del sol sobre el horizonte. La “sobra invertida”, es decir la sombra proyectada sobre una pared vertical por una varilla o gnomon de longitud unidad fijado perpendicularmente a la pared sería en cambio lo que nosotros llamamos la tangente del ángulo de elevación del sol. La “hipotenusa de la sombra”, es decir, la distancia del extremo del gnomon vertical unidad al extremo de su sombra era lo equivalente a nuestra función cosecante, y la “hipotenusa de la sombra invertida” jugaba el mismo papel que nuestra secante.

Abu’l-Wefa y Al-Karkhi

Abu’l-Wefa no sólo se ocupó de la trigonometría, sino también del algebra escribiendo un comentario sobre el Algebra de Al-Khowarizmi y, sobre todo, traduciendo del griego uno de los últimos grandes clásicos, la Arithmetica de Diofanto.

Se le atribuye a Al-Karkhi la primera resolución numérica de ecuaciones de la forma (considerando solamente las raíces positivas).

Al Biruni y Alhazen

Otro matemático importante fue Al-Biruni. (973-1048) y Alhacen, que también era matemático, fue famoso por sus estudios sobre óptica. Estudio las lentes y escribió Tesoro de la Óptica sobre la reflexión y refracción de la luz.

ANEXOS

Quienquiera que piense que el álgebra es un sistema de trucos

para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente.

Los hechos del álgebra son hechos geométricos

que están demostrados.

Omar Khayyam

Mientras el espíritu de la matemática languidece en Occidente, los árabes son los responsables de rescatar del olvido no sólo la matemática griega, sino la desarrollada en China, India y la Mesopotamia. En esta época Bagdad se convierte en una nueva Alejandría.

La matemática árabe puede clasificarse de manera natural en cuatro ramas:

Una aritmética proveniente de la India, basada en el principio posicional.

Un álgebra de origen griego y babilónico, pero que adopta una forma nueva y sistemática.

Una trigonometría griega a la que los árabes amplían y dan forma.

Una geometría, también de origen griego, a la que enriquecen con diversas generalizaciones y estudios críticos.

Hacia el siglo XI la cultura árabe, que desde el siglo VIII había sido la más libre y fecunda, empieza a mostrar signos de decadencia, mientras que al mismo tiempo asoma un despertar en el mundo cristiano.

Momentos Significativos

628 Brahmagupta

Consolidación del sistema decimal.

825 Al-Kowarizmi

Al-jabr

Resolución sistemática de ecuaciones cuadráticas.

Origen de la palabra “algoritmo”.

870 Thabit Ibn-Qurra

Traducción al árabe de las obras de los matemáticos griegos.

1037 Avicena

Nexo entre el saber griego y el islámico.

1100 Omar Khayyam

Ecuaciones cúbicas.

1140 Abraham Ibn Ezra

Teoría de números.

1150 Bhaskara

Ecuación de Pell.